1.8. Правила дифференцирования.

Пусть f₁(x) и f₂(x) дифференцируемые функции и С = const. Тогда

1.

2.

3.

4.

Таблица основных элементарных функций

1.9. Дифференцирование сложной функции.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀ и функция z = F(y) дифференцируема в точке y₀ (y₀ = f(x₀)), тогда сложная функция z = F [ f(x)] дифференцируема в точке х₀ и её производная определяется формулой :

z'_x=F′_y - y'_x=F_y′(y) - f '_x(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной этой функции F′_y по промежуточному аргументу на производ­ную промежуточного аргумента у'_х по независимой переменной. Например.

Найти производную функции z = arctg(log₅ х).

Здесь z = F(y)= arctg(y), y = f(x)= log₅ х, z'_y= y'_x= Тогда, z'_x=

1.10. Дифференцирование обратной функции.

Пусть функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна в окрестности точки х₀ и пусть при

х = х₀ существует производная f '(х₀)≠ 0, тогда и об­ратная функция х = f -1(y) также дифференци-

руема в окрестности точки у₀=f(x₀) и её производная определяется формулой:

(т.е. ).

1.11. Производная неявно заданной функции.

Пусть зависимость между аргументом x и y задана уравнением не разрешённым относительно y: F(x, y)= 0

Тогда, дифференцируя это уравнение по x, и, считая при этом yфункцией от x, получим уравнение связывающее x, y, y′, т.е. F(x, y, y′)= 0

Выражая из этого равенства y′, найдём производную вновь как неявно заданную функцию:

Например.

Найти производную неявно заданной функции

Дифференцируя уравнение по x, получаем:

Перенесём члены содержащие y′ в одну часть равенства, а не содержащие в другую:

выразим y′:

1.12. Производные высших порядков.

1.12.1. Производные явно заданных функций.

Так как производная y′ в свою очередь является некоторой функцией зависящей от х, то можно ставить вопрос об отыскании производной этой функции.

Производной второго порядка от функции f(х) называется производная от ее первой производной, то есть , если этот предел существует, то функция f(x) называется дважды дифференцируемой.

Производная n-го порядка функции f(х) определяется как производная от производной (n-1)-го порядка:

Например.

Найти производную n-го порядка для функции у =ln x.

1.12.2. Производные неявно заданных функций.

Для отыскания производной второго порядка неявно заданной функции F(x,y) = 0 необходимо продифференцировать выражение для первой произ­водной у' = F₁(x,y) по х, считая у функцией от х. Тогда, в левой части полу­чаем у", а в правой некоторую функцию F₂ зависящую от х, у, у': y" = F₂(x,y,y').

Подставляя выражение у' = F₁(x,y) в F₂(x,y,y') получим вторую производную, зависящую только от x, y; y" = F₃(x,y): Аналогично находятся производные более высоких порядков.

Например.

Найти вторую производную неявно заданной функции х² + y²= а².

Имеем 2х + 2уу' = 0 , производная первого порядка.

Далее

Таким образом, - производная второго порядка.