1.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она определена для любого х [а,b] и непрерывна в каждой точке этого

отрезка (в точке а справа, в точке b слева)

1. Теорема Вейерштрасса. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.

2. Теорема Болъцано — Коши. Если функция f(х) непрерывна на [а, b] и f(а) = А, f(b) = B, то для любого С, заключенного между А и В , суще­ствует хотя бы одна точка х1 [а,b], такая что

f(x_l) = C.

Следствие. Функция f(x), непрерывная на отрезке [а,b] и принимающая на концах отрезка значения разных знаков, хотя бы в одной точке х₀ внутри отрезка обращается в 0, f(x₀) = 0.

3.Теорема «О непрерывности обратной функции». Если функция f определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке [а, b], то обратная ей функция f ^-1 так же определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке с концами в точках f(a) и f(b).

Например, у = x² — определена, непрерывна и строго возрастает на [2,3]. f(2') = 4, f (3) = 9. Тогда обратная функция х — определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке [4,9].

1.7. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

1.7.1. Понятие производной.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, обозначим ∆х = х-x₀ – приращение аргумента, тогда приращение функции в точке х₀ выразится формулой

∆у=у-у₀ = f(х₀+∆х) - f(х₀) = ∆ f(х₀).

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆ f(х₀) к приращению аргумента ∆х при стремлении приращения аргумента к 0, если этот предел существует.

Производную функции у = f(x) в точке х₀ обозначают

f ′(х₀) или

Производная функции f(х), рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией и обозначается f '(x). Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Г еометрически значение производной f ′(x) в точке х₀ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции y=f(x) точке с абсциссой х₀. tg α= f ′(x₀).

С точки зрения физики, производная является мгновенной скоростью изменения величины y в точке х₀ при изменении величины х.

(Например, скорость неравномерного движения в каждый момент времени t₀ равна про­изводной от функции пути по времени).

1.7.2. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Функция, имеющая производную в точке х₀, называется дифференци­руемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке про­межутка (а,b), называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции является необходимым усло­вием дифференци- руемости, но не является достаточным условием, т. к. производная - это предел отношения двух бесконечно малых, а этот предел может быть равен бесконечности или не существовать. Если ∆х и

∆y именно таковы, то функция не будет дифференцируемой, будучи непрерывной.

Очевидно, что в соответствующей точке х₀ график функции либо не имеет определенной касательной - не существует), либо угол наклона касательной к Ox равен 90˚ , т.е. касательная параллельна на оси Oy.