1.4. Непрерывность функции в точке.

1.4.1. Непрерывность основных элементарных функций.

Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и в самой точке, и существует предел f(x) при х→х₀, равный значению функции в точке х₀, f(x) = f(x₀).

Функции у = С, где С = const

, степенная

, показательная

, логарифмическая

, тригонометрические

, обратные тригонометрические

называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, явным образом, заданная с помощью формулы, содер­жащей конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.

Теорема «О непрерывности элементарных функций». Все функции, входящие в класс элементарных функций, непрерывны всюду в области их определения.

1.4.2. Свойства функций, непрерывных в точке.

1. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то и функции С ∙ f(x), f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и , если g(x₀) ≠ 0, являются непрерывными в точке x₀.

2. Если y = f(x) непрерывна в т. х₀ и функция z = F(y) непрерывна в точке у₀= f(x₀), то сложная функция непрерывна в точке x₀.

Последнее свойство можно записать в виде т. е. операции предельного перехода и нахождения значения непрерывной функции перестановочны.

Например.

При вычислении пределов непрерывных функций это свойство удобно ис­пользовать в виде правила замены переменной для пределов непрерывных функций. Если y = f(x) непрерывна в точке х₀ и y₀ =f(х₀), то

Например.

Пусть y=x² - 1 если x→1, то y→0

1.5. Точки разрыва функции.

Определение. Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀ справа, если она определена на полуинтервале [х₀,b) и существует её правосторон­ний предел, равный f(х₀), f(x) = f (х₀).

Определение. Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀ слева, если она определена на полуинтервале (a;х₀] и существует её левосторонний предел, равный f(х₀), f(x) = f (х₀).

Определение. Точка х₀ [a,b] называется точкой разрыва функции, если функция не определена в этой точке или определена, но не является в этой точке непрерывной.

1.5.1. Классификация точек разрыва функции.

Условие непрерывности функции f(х) в точке х₀ можно записать в виде

f(x)= f(x)= f(x) = f (х₀).

Классификация точек разрыва проводится в зависимости от характера нарушения этой цепочки равенств.

Точкой разрыва I-го рода функции f(x) называется такая точка х₀, в которой существуют и конечны оба односторонних предела функции, но они не равны друг другу

f(x) ≠ f(x)

либо в точке х₀ односторонние пределы существуют, конечны и равны друг другу, но в точке х₀ функция либо не определена, либо значение f(х₀) отлично от общего значения обоих односторонних пределов в этой точке f(x) = f(x) ≠ f (х₀) (такой разрыв в точке х₀ называют устранимым разрывом I-го рода).

Точкой разрыва II — го рода функции f (х) называется такая точка х₀, в которой хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, либо не существует.