1.2.1. Свойства пределов

1. Если в окрестности точки х₀: f(х) = С (С = const), то С = С.

2. Если существуют конечные пределы функций f(х) и g(x) в точке х₀, то существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций (если g(x) ≠ 0), причём

• 

• 

• где С = const,

• 

3. Пусть существует предел и предел . Пусть в некоторой окрестности точки x₀ f(x ) ≠ b, за исключением, быть может, са­мой точки х₀, тогда существует предел сложной функции

= .

1.2.2. Замечательные пределы

При вычислении пределов функций удобно использовать, так называе­мые, замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Следствия:

Замечание. Если u = U(x) непрерывная функция и , то справедливо

Второй замечательный предел:

или

Следствия:

Замечание. Если u = U(x) непрерывная функция и , то справедливо:

, и .

1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция α(х) называется бесконечно малой при х→х₀, если

Определение. Функция β(х) называется бесконечно большой при х→х₀, если

Теорема «О связи пределов с бесконечно малыми». существует и равен

A ( ) тогда и только тогда, когда f(x)=A+α(x), где α(х) - бесконечно малая функция при х → х₀.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконеч­но малая функция.

3. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.

Теорема «О связи бесконечно малых и бесконечно больших». Величина, обратная бесконечно малой функции, есть бесконечно большая функция.

Замечание. По определению полагают: если а > 0, то , .

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть α(х) и β(х) - бесконечно малые функции при х→х₀.

Если , то говорят, что α(х) более высокого порядка малости, чем β(х) при х → х₀.

Если , то говорят, что α(х) более низкого порядка малости, чем β(х) при х → х₀.

Если (0 < r < ∞), то говорят, что α(х) k -го порядка малости относительно β(х) при х → х₀. При k=1 говорят, что α(х) и β(х) одного порядка малости.

Если , то говорят, что α(х) и β(х) эквивалентные бесконечно малые при х → х₀ (α(x)~β(x) при х → х₀.

Например.

1) Сравним α₁(х)=8 – x и β₁(x)= при х→8.

Следовательно, α₁(х)=8 – x и β₁(x)= бесконечно малые функции, одного порядка малости при х→8.

2) Сравним α₂(х)=x² + x и β₂(x)= при х→0.

Следовательно, α₂(х) бесконечно малая более низкого порядка, чем β₂(x) при х→0.

3) Определить порядок малости α₂(х)=x²+x относительно β₂(x)= при х→0.

Таким образом, α₂(х)=x²+x бесконечно малая порядка относительно β₂(x)= при х→0.

На основе рассмотренных замечательных пределов можно указать ряд экви­валентных бесконечно малых при х→0:

х ~ sin х ~ tgx ~ arcsin х - arctgx ~ (е^x — 1) ~ 1п(1 + х).

Для бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:

1) Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить ей эквивалентной;

2) Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости по сравнению с каждой из них;

3) Если разность двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция по сравнению с каждой из них, то эти бесконечно малые функции эквивалентны.