III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1.1. Понятие функции

Рассмотрим множество X элементов x и множество Y элементов y.

Определение. Если каждому элементу x X ставится в соответствие по некоторому закону единственный элемент у Y, то говорят, что на множе­стве X задана функция y = f(x) со значениями в множестве Y.

Элементы у - значения функции, элементы х - значения аргумента. Множество X - область определения функции, Y - множество значений функции. Если X и Y - множества действительных чисел, то функцию называют действительной функцией одного аргумента.

f - закон, по которому устанавливается соответствие элементов, чаще всего, задается аналитически, то есть с помощью формулы. Аналитически функция может быть задана:

• явно: когда формула разрешена относительно у. Например,

• неявно: когда формула не разрешена относительно у. Например,

• параметрически: когда х и у заданы в виде явных функций

параметра t: Например,

Определение. Графиком функции у = f (х) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)).

Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения X и множеством значений Y₁ и функцию z = F(y) с областью определения Y₂ и областью значений Z .

Определение. Если область определения Y₂ функции F включает в себя множество значений Y₁ функции f, то говорят, что на множестве X опре­делена сложная функция z = F(y) = =F[f (х)] с областью значений Z .

Например, у = 2^х, Y₁=(0;+∞) и z = sin(y), Y₂=f(-∞,+∞). Таким образом, z = sin(2^x) - сложная функция.

Определение. Пусть у = f (х) - функция, имеющая областью определе­ния множество D и областью значений множество Е, такова, что из условия х₁ ≠ х₂ следует f(х₁) ≠ f(х₂), тогда каждому у Е соответствует единственное значение х D, такое, что f(х) = у. Тем самым определена новая функция f ^-1 с областью определения Е и областью значений D. у = f (x) и у =

= f ^-1 (х) назы­вают взаимно обратными функциями.

Например, у = 5^х и y = log₅ x.

Определение. Функция y = f(x) называется четной, если удовлетворяет условию f(х) = f(-x) и нечетной, если f(х) = -f(-х).

Определение. Функция у = f(x) называется периодической, если суще­ствует положи-тельное число Т (период функции) такое, что f(х) = f(х+T) для любого х.

Определение. Функция у = f (х) называется строго возрастающей (убывающей) при , если для любых х₁ < х₂ выполняется f(х₁)< f(x₂) (f(х₁,)> f(x₂)). Строго возрастающая и строго убывающая функции называ­ются строго монотонными.

Определение. Окрестностью точки х₀ называется любой открытый про­межуток, содержащий эту точку, ε (эпсилон) - окрестностью точки х₀ назы­вается промежуток (х₀ - ε, х₀+ε) длины 2ε с центром в точке х₀.

1.2. Предел функции

Пусть переменная х стремится к х₀ (х → х₀), то есть принимает значения сколь угодно близкие к х₀, но не равные ему.

Определение. Число А называют пределом функции y = f(x) в точке х₀ (при х → х₀), если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое положительное число 5, что для всех δ, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом пишут

Если х неограниченно возрастает, то говорят, что х стремится к плюс бес­конечности: х → +∞; если неограниченно убывает, то х → -∞.

Определение. Число А называют пределом функции у = f(х) при х → +∞ (х → -∞), если для любого сколь угодно малого ε > 0существует та­кое положительное число М, что для всех х, удовлетворяющих неравенству х > М (х < -М ) выполняется неравенство . При этом пишут

Определение. Число А называют правым односторонним пределом функции y = f(x) при

х → х₀+0, если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < х - х₀ < δ, выполняется неравенство . Пишут

Аналогично определяется левый односторонний предел функции в точ­ке.