1. Правило Крамера

Этот метод используется для системы (2) только в случае квадратной невырожденной матрицы системы A_n, имеющей порядок n, т.е. определитель матрицы системы

В этом случае r_A= числу неизвестных, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляют еще n определителей , которые получаются из определителя ∆ заменой k-го столбца столбцом свободных членов, .

Тогда решение системы вычисляется по формулам Крамера

Пример. Решим систему уравнений предыдущего примера.

Имеем ∆=13. Вычисляем определители ∆_k, k=1,2,3:

Следовательно, .

2. Метод Гаусса исключения неизвестных

Этот метод наиболее удобен на практике и применяется к системам об­щего вида (2). Для простоты лучше работать не с системой линейных урав­нений, а с соответствующей системе расширенной матрицей .

Для систем вводится понятие, аналогичное понятию эквивалентности матриц. Две системы уравнений эквивалентны, если они обе несовместны или имеют одни и те же решения.

Метод заключается в использовании элементарных преобразований:

1. перестановка двух любых строк;

2. умножение строки на число λ ≠ 0;

3. прибавление к одной строке другой, умноженной на любое число для привидения матрицы системы к так называемому ступенчатому виду:

При этом получим эквивалентную матрицу, а соответствующая ей система линейных уравнений будет эквивалентна исходной системе уравнений.

Рассмотрим случай k < n. Так как коэффициенты при всех неизвестных в последних строках матрицы ступенчатого вида равны нулю и свободные равны нулю, то соответствующие им уравнения системы имеют вид 0=0, Такие уравнения можно отбросить.

Следующее соответствующее уравнение системы будет иметь вид и при это неверное равенство, что говорит о несовместимости полученной эквивалентной системы, а, следовательно, и исходной.

Оставшимся k строкам полученной матрицы соответствует система уравнений

Выбирая неизвестные х_k+1, х_k+2,...,х_п в качестве свободных, можем, последовательно двигаясь снизу вверх, выразить все оставшиеся неизвестные (базисные) через них. В этом случае имеем неопределенную систему, т.е. систему, имеющую бесконечное множество решений.

В случае k=n получим треугольную эквивалентную матрицу. Эквивалентная система будет иметь вид

Двигаясь снизу вверх, последовательно находим един­ственное решение, общее для полученной и исходной систем.

Пример. Применим метод Гаусса к уже рассматриваемой ранее системе уравнений

Выписываем соответствующую системе расширенную матрицу и, вы­полняя эквивалентные преобразования над строками, указывая их над знаком эквивалентности, получаем

Соответствующая этой матрице система имеет вид­

откуда последовательно находим x₂=-1, x₃=2 и x₁=0.

Но можно было вместо преобразований II - 8, III ∙ 5 выполнить пре­образование III + II, что привело бы к матрице и соответствующей ей системе:

,

откуда бы нашли, двигаясь снизу вверх, x₂=-1, x₃=2 и x₁=0.