3. Вычисление определителей

• Определители 2-го порядка равны разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

• Определители 3-го порядка вычисляются по правилу треугольников (правилу Саррюса)

Это правило громоздко, однако схематически оно выглядит проще (эле­менты произведений соответствующего знака соединены отрезками):

• Определители n-го порядка вычисляются с использованием свойств 6 и 7.

Примеры.

Сначала вычислим определитель 4-го порядка, используя свойство 7 (разлагая по 4-й строке):

Теперь вычислим этот же определитель, используя предварительно свой­ство 6 для упрощения. При этом преобразования над строками будем пи­сать над знаком равенства, а преобразования над столбцами — под знаком равенства, обозначая номера строк (столбцов) римскими цифрами.

I-3∙III = св-во 7 =

=

Системы линейных уравнений

Данный раздел посвящен методам решения систем линейных уравнений

(2)

относительно неизвестных x₁,x₂,…,x_n. Матрица из коэффициентов (действительных чисел) при неизвестных

называется матрицей системы. Если записать неизвестные и свободные члены b₁, b₂,…, b_m в виде матриц-столбцов

то систему (2) можно записать в виде

AX=B

Решение системы (2) называется такой набор чисел что подстановка его вместо неизвестных обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если же система не имеет решений, то она называется несовместной.

Если система совместна и имеет единственное решение, то она называ­ется определенной. Если же совместная система имеет бесконечное множество решений, то она называется неопределенной.

Наряду с матрицей системы А рассматривается расширенная матрица системы

Следующая теорема дает ответ на вопрос о совместности системы линейных уравнений.

Теорема (Кронекера - Капелли). Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы , т. е.

Пусть

Если это число r равно числу неизвестных n, т.е. r=n, то система (2) имеет единственное решение.

Если r < n, то система имеет бесконечно много различных решений. В этом случае базисный минор матрицы А содержит коэффициенты при r неизвестных, которые назовем базисными. Все остальные переменные называются свободными, и базисные переменные выражаются через них. Соотношения, связывающие базисные переменные со свободными, и назы­ваются общим решением системы. Подставляя вместо свободных пере­менных конкретные числа, получим одно из бесконечного множества реше­ний.

Если хотя бы один из свободных членов b₁, b₂,…, b_m системы (2) отли­чен от нуля, то система называется неоднородной.

Система называется однородной, если все правые части равны нулю:

(4)

Системы такого вида всегда совместны, ибо x₁=0, x₂=0, …, x_n=0 является ее решением, которое называется нулевым или тривиальным.

Когда система (4) имеет ненулевые решения? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Система однородных линейных уравнений (4) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, что равносильно тому, что ранг матрицы A r_A < n.