1. Миноры и алгебраические дополнения

Минором M_ij элемента a_ij матрицы А (или определителя ) n-го порядка называется определитель (n— 1)-го порядка, получаемый вычерки­ванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых и стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij — это минор данного элемента с соответствующим знаком, определяемым суммой i+j:

A_ij=(-1) ^i+jM_ij.

Пример. Найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a₁₂=2 и a₃₁=7 определителя

M₁₂= A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂= -M₁₂,

M₃₁= A₃₁=(-1)³⁺¹M₃₁=M₃₁

Минором M_k k-го порядка произвольной матрицы A_m×n (1 ≤ k ≤ min(m,n))называется определитель, составленный из элементов, стоя­щих на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы. При этом любой определитель (k + 1)-го порядка, содержащий минор М_k, называется окаймляющим минором.

Пример. Для матрицы A_3×4= минором 2-го порядка является определитель M₂= , стоящий на пересечении 2-й и 3-й строк с 1-м и 2-м столбцами, а окаймляющими его минорами будут и

2. Свойства определителей

Предварительно введем несколько понятий:

- под суммой нескольких строк определителя будем понимать стро­ку, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов строк-слагаемых;

- под произведением строки определителя на число будем подразуме­вать строку, каждый элемент которой есть произведение соответству­ющего элемента исходной строки на это число;

- под линейной комбинацией нескольких строк определителя будем по­нимать строку, каждый элемент которой является линейной комбина­цией соответствующих элементов исходных строк, т.е. суммой произведений этих элементов на некоторые числа — коэффициенты линейной комбинации. Например, в определителе третья строка (III) является линейной комбинацией первых двух (I и II): III=2∙I-II, или, другими словами, третья строка линейно выражается через первую и вторую.

1. Определитель не изменяет своей величины при транспонировании (по­этому все нижеперечисленные свойства, касающиеся строк определителя, справедливы и для его столбцов).

2. Определитель равен нулю, если:

а) все элементы какой-либо строки равны нулю;

б) две его строки одинаковы;

в) все элементы какой-либо строки пропорциональны соответствующим элементам другой строки;

г) одна из строк является линейной комбинацией каких-либо остальных строк.

3. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно выносить за знак определителя.

4. При перестановке двух любых строк определитель меняет знак.

5. Если определители, отличающиеся между собой только элементами какой-либо (i-й) строки, складывать между собой, то в сумме полу­чим определитель, у которого элементами i-й строки являются сум­мы соответствующих элементов i-х строк определителей-слагаемых, а остальные строки — те же, что и у слагаемых.

6. Прибавление (вычитание) к какой-либо строке определителя другой строки или линейной комбинации других каких-либо строк не изме­няет величины определителя.

7. Определитель можно разложить по элементам любой (i-й) строки:

т.е. определитель равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

Аналогично определитель можно разложить по элементам лю­бого (j-го) столбца:

Введем еще одно понятие, связанное с понятием линейной комбинации.

Строки определителя называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через остальные.

Из свойства 2, г следует, что если одна из строк определителя линей­но выражается через другие (т.е. строки являются линейно зависимыми), то определитель равен нулю. Справедливо и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то хотя бы одна из его строк линейно выражается через другие. Если же определитель будет отличен от нуля, то его строки будут линейно независимыми.