II. Элементы линейной алгебры

Матрицы

1. Основные определения

Прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов

или

называется матрицей, размеры которой m×n. Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn – элементы матрицы (читается: «а один, один», «а один, два» и т.д.). Эле­менты матрицы нумеруются двумя индексами, первый из которых указы­вает на номер строки таблицы, второй — на номер столбца.

Матрицу размеров m×n для простоты будем обозначать

Матрица, имеющая только одну строку, называется матрицей-стро­кой, и она имеет вид

Матрица

имеющая только один столбец, называется матрицей-столбцом.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется ну­левой. Она обозначается О или О_m×n, если число строк равно m, а столбцов - n.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица назы­вается квадратной. При этом число строк называется порядком этой матрицы. Квадратную матрицу порядка n будем обозначать следующим образом:

Совокупность элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn, которые стоят на диагонали квад­ратной матрицы, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, называ­ется главной диагональю. Совокупность же элементов a_1n, a_2n-1, …, a_n1, принадлежащих диагонали, идущей из правого верхнего угла в левый ниж­ний, называется побочной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали рав­ны единице, называется единичной:

Квадратная матрица, у которой все элементы ниже (выше) главной диа­гонали равны нулю, называется верхней (нижней) треугольной матрицей:

Матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, называются матрицами одинаковых размеров.

Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны, т. е. и равны друг другу в том и только в том случае, если a_ij=b_ij для любых и .

2. Операции над матрицами

Произведением матрицы А = (α_ij)_m,n на число α называется мат­рица

αA=(αa_ij)_mn,

каждый элемент которой умножается на это число α.

Примеры.

Сложение матриц определено только для матриц одинаковых размеров. Суммой матриц и размеров m×n называется матрица тех же размеров

A+B=( a_ij+b_ij)_m,n

элементы которой являются суммами соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Примеры.

+

-

Для любой матрицы матрица –A=(-1)∙A=(-a_ij)_m,n обладает свойством

A+(-A) = -A+A=O_m×n

Операция произведения двух матриц определена только в том случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Произведением матриц и называется мат­рица AB=(c_ij)_m,p, элементы c_ij которой вычисляются по формулам:

,

т.е. каждый из них — это сумма произведений элементов i-й строки матри­цы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Примеры.

A_3×2B_2×1=

произведение B_2×1A_3×2 не определено;

A_2×2B_2×2=

Последние два примера показывают, что AB≠BA. В общем случае умно­жение матриц не коммутативно.

Однако есть матрицы, для которых справедливо равенство АВ=ВА. Такие матрицы называются коммутирующими.

Пример.

Транспонированием матрицы называется операция, состоящая в перемене ролями строк и столбцов с сохранением их порядка. Для матрицы транспонированной матрицей будет матрица.

Примеры.

Пусть α, β,0 — числа. Матрицы А, В, С, нулевая матрица О и единичная матрица Е имеют соответствующие размеры. Тогда можно сформули­ровать:

- свойства умножения матриц на числа

α(βA)=(αβ)A, α(AB)=(αA)B,

α(A+B)=αA+αB, (α+β)A=αA+βA;

- переместительное и сочетательное свойства сложения матриц

А + В = В + А, А + (В + С) = (А + В) + С;

- сочетательное свойство умножения матриц

А(ВС) = (АВ)С;

- распределительное свойство умножения матриц относительно сложе­ния

А(В + С) = АВ + АС, (В + С)А = ВА+СА:

- свойства транспонирования суммы и произведения матриц

(А + В)^Т = А^Т + В^Т, (АВ)^Т = В^ТА^Т;

- свойства нулевой матрицы

А + 0=А, 0А = О, АО = 0, ОА = 0;

- свойства единичной матрицы

ЕА = АЕ = А.

Определители

Каждой квадратной матрице А_n ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы и обозначаемое

det A или

Отличающиеся друг от друга порядком элементов упорядоченные наборы всех элементов данного множества называются перестановками. Число всех перестановок множества из n элементов определяется по формуле. Pn=n!=1∙2∙3∙….∙n. По определению 0!=1.

Определителем (детерминантом) матрицы А n-го порядка назы­вается число

где в сумме α, β, …, ω пробегают все возможные n! перестановок из чисел 1,2,..., n, причем знак + или - перед каждым произведением опре­деляется количеством k инверсий в соответствующей перестановке. На­пример, слагаемое a₁₃a₂₁a₃₄a₄₂ в определителе 4-го порядка имеет знак -,так как расположение 3,1,4,2 вторых индексов имеет три инверсии (k=3)

3 ,1,4,2 1,3,2,4, 1,2,3,4,

отмеченные дужками.

Отметим, что каждое слагаемое суммы (с соответствующим знаком) — это произведение n сомножителей, содержащее только по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца.