Решение.

1. Определяем количество участков с постоянной внешней нагрузкой (см. рис. 25). Их два.

2. Отбросив опоры, заменяем их реакциями, которые определяем из условия равновесия всей балки.

Изгибающий момент в сечении B (врезан шарнир) равен нулю. Используем это, определяя реакции. Рассмотрим равновесие участка BC.

Проверим правильность определения

Рис. 25 реакций.

;

3) С помощью метода сечений записываем уравнения равновесия для каждой отсеченной части, определяем и на каждом из участков (рис. 25).

На первом участке:

(функция - постоянна)

(функция - линейная функция координаты z)

при

при .

На втором участке:

(функция - линейная функция координаты z)

при

при

(функция - квадратичная функция координаты z)

описывается уравнением второго порядка. Парабола строится по трем точкам.

при

при

при

Исследуем функцию на экстремум (см. формулу (7)).

при

Итак, в результате анализа эпюр и , имеем:

1. При отсутствии распределенной нагрузки функция по длине участка постоянна, функция – меняется по линейному закону.

2. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, функция имеет «скачок» на ее величину, а функция имеет излом, пиком направленный навстречу этой внешней силе.

3. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент функция имеет «скачок» на его величину.

4. При наличии на участке распределенной нагрузки постоянной интенсивности q функция - линейная, функция - квадратичная парабола, выпуклостью направленная навстречу стрелочкам этой нагрузки. Парабола имеет экстремум в том сечении, в котором поперечная сила равна нулю (формула 7).

5. В сечении, в котором функция меняет знак, ось изогнутой балки имеет точку перегиба. В сечении, в котором врезан шарнир, ось изогнутой балки имеет излом.

Выводы анализа можно свести в таблицу (рис. 26).

Рис. 26

4. Стержневые системы - рамы.

Стержневая система называется рамой, если все ее элементы – прямые стержни или стержни малой кривизны и хотя бы одна пара стрежней соединены между собой жестко.

Узлы рамы могут быть как абсолютно жесткими (рис. а), так и шарнирными (рис. б).

Шарнирный узел, соединяющий два стержня, оси которых находятся на одной прямой, может рассматриваться как врезанный в единый стержень шарнир (рис. в).

рис. а рис. б рис. в

Рама называется плоской, если: а) оси всех ее элементов расположены в одной плоскости; б) одна из главных осей всех поперечных сечений элементов, работающих на изгиб, лежит в той же плоскости; в) внешние сосредоточенные и распределенные силы лежат в той же плоскости, а вектор внешнего момента перпендикулярен этой плоскости.

Рама называется плоско-пространственной, если она является плоской в части пунктов а) и б), а внешние сосредоточенные и распределенные силы перпендикулярны упомянутой плоскости, векторы внешних моментов лежат в плоскости рамы.

В противном случае рама называется пространственной.

Алгоритм построения эпюр внутренних силовых факторов аналогичен соответствующему алгоритму для балок и состоит в следующем.

1. Из уравнений равновесия для всей рамы определяем реакции опор (в некоторых случаях это действие может быть опущено).

2. Используя метод сечений определяем внутренние силовые факторы в элементах рамы и строим их эпюры. Удобно на каждом участке вводить местную систему координат с началом на одном из его концов. Эпюры строятся прямо на осях соответствующих стержней.

Пример 4.1.

Д ля рамы (рис. 27) построить эпюры изгибающих моментов.

Решение

В решении следуем изложенным алгоритмам в пунктах I и II. Участки рамы обозначим цифрами от 1 до 5, а сечения в опорах и узлы обозначим буквами.

1. Определение реакций опор.

З аменяем опоры реакциями, для их рис. 27 определения составляем уравнения равновесия всей рамы (рис. 28). Желательно, по возможности, уравнения равновесия составлять так, чтобы в каждое из них входила только одна реакция.

Отсюда находим , .

рис. 28

Целесообразно убедиться в правильности определенных реакций. Для этого можно использовать уравнения моментов относительно любой точки рамы, например точки K.

2. Построение эпюр изгибающих моментов (эпюры и N не строим).

Уравнения равновесия для отсеченных частей показаны на рисунках 29-34. Сумму моментов записываем относительно оси х в сечении .

Е сли в раме есть узел, в котором сходятся несколько стержней (в данной раме узел D), построение эпюры ведем к этому узлу по всем стержням, а затем, рассматривая равновесие узла, проверяем правильность решения. Эпюры изгибающих моментов строим на сжатой стороне стержня.

Участок 1: (рис. 29)

(функция - линейная функция координаты z)

При =0; .

При =l; .

Знак «+» показывает, что выбранное направление внутреннего силового фактора правильное, знак «-» - силовой фактор имеет другое направление.

рис. 29

У часток 2: (рис. 30)

(функция - линейная функция координаты z)

При =0; .

При =l; .

рис. 30

У часток 3: (рис. 31)

(функция - линейная функция координаты z)

При =0; .

При =l; .

рис. 31

У часток 4: (рис. 32)

(функция - квадратичная функция координаты z)

Параболу строим по трем точкам (границы участка и сечение в котором парабола имеет экстремум)

При =0; .

рис. 32 При =l; .

Исследуем функцию на экстремум, найдя положение вершины параболы. Для этого приравняем к нулю первую производную функции момента .

Участок 5: (рис. 33)

(функция - линейная функция координаты z)

При =0; .

При =l; .

рис. 33

Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 34.

рис. 34

Частично правильность решения можно проверить рассматривая равновесие узлов С и D (рис. 35). Сечения рассматриваем бесконечно близкие к узлу, поэтому сумму моментов записываем относительно любого сечения вырезанного узла.

Узел «С» Узел «D»

рис. 35

П ример 4.2.

Для рамы (рис. 36) построить эпюру изгибающих моментов.