2. Кручение.

Кручение – такой вид нагружения стержня, при котором из внутренних силовых факторов в сечении остается только один – крутящий момент M_k.

Правило знаков.

Будем считать внутренний крутящий момент M_k положительным, если глядя в торец сечения со стороны внешней нормали видим его направленным против часовой стрелки (рис. 9).

Рис. 9

Пример 2.1.

Д ля стержня (рис. 10) построить эпюру внутренних крутящих моментов M_k по его длине.

Решение.

1. Определяем количество участков с постоянной внешней нагрузкой (рис 10). Их четыре.

2. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левых частей стержня, определяем внутренние крутящие моменты M_k по длине каждого из его участков.

Рис. 10

Первый участок: 0 ≤ ≤ l;

Второй участок: 0 ≤ ≤ l;

Третий участок: 0 ≤ ≤ l;

Четвертый участок: 0 ≤ ≤ l;

Учитывая принятое правило знаков для M_k , рисуем эпюру внутренних крутящих моментов (рис 10).

Пример 2.2.

Стержень, закрепленный левым сечением, нагружен равномерно распределенными моментами интенсивностью по длине второго участка и интенсивностью по длине третьего участка, а также сосредоточенным моментом ml на свободном правом конце стержня (рис. 11).

П остроить эпюру M_k по всей длине стержня.

Решение.

1. Определяем количество участков с постоянной внешней нагрузкой (рис 11). Их четыре.

2. Из условия равновесия всего стержня определяем реактивный момент в заделке.

Полученный положительный знак момента соответствует его действительному направлению.

3. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левых частей стержня, определяем внутренние крутящие моменты M_k по длине каждого из его участков.

Рис.11

Первый участок: 0 ≤ ≤ l;

Второй участок: 0 ≤ ≤ l;

(функция линейная)

Третий участок: 0 ≤ ≤ l;

(функция линейная)

Четвертый участок: 0 ≤ ≤ l;

На основании полученных уравнений строим эпюру M_k по длине стержня (рис 11).

Проанализировав вид внешней нагрузки и характер эпюр M_k , можно отметить: а) при отсутствии распределенного момента по длине участка – величина M_k постоянна; б) при наличии распределенного момента постоянной интенсивности - величина M_k в пределах участка меняется по линейному закону; в) в том сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, эпюра M_k имеет «скачок» на его величину.

3. Изгиб прямого стержня.

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Прямой стержень, находящийся в условиях изгиба, называется балкой. Деформированная ось стержня называется осью изогнутой балки.

Поперечным изгибом называется такой вид нагружения, при котором внутренние силовые факторы лежат в плоскости поперечного сечения – это поперечная сила и изгибающий момент. При отсутствии поперечной силы изгиб называется чистым.

Алгоритм решения.

Первый этап.

Определение опорных реакций.

В зависимости от налагаемых ограничений на перемещения закрепленного сечения стержня различают следующие виды опор:

- шарнирно-подвижная опора (рис. 12) – запрещает линейные перемещения в направление опоры;

Рис. 12

реакция такой опоры сила направлена вдоль опорной связи;

- шарнирно-неподвижная опора (рис. 13) – запрещает линейные перемещения в плоскости по любым двум взаимноперпендикулярным направлениям;

Рис. 13

в такой опоре возникают две опорные реакции и по выбранным вертикальному и горизонтальному направлениям;

- жесткое закрепление или заделка (рис. 14) – запрещает все три перемещения в плоскости (два линейных по любым двум взаимноперпендикулярным направлениям и одно угловое);

Рис. 14

в такой опоре возникают вертикальная реакция , горизонтальная реакция , и реактивный изгибающий момент .

На примере балки (рис. 15) покажем методику определения опорных реакций.

Рис. 15

Направление реакции выбираем произвольно. Если в результате вычислений какая-либо реакция получается отрицательной, то нужно изменить на рисунке ее направление на противоположное.

Как известно из курса «Теоретическая механика» для плоской системы опорные реакции определяются из трех независимых уравнений равновесия. По возможности уравнения равновесия составляем так, чтобы в каждое из них входило только одна реакция.

Сумма проекций всех сил на ось балки z равна нулю:

; .

Сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира A равна нулю (из этого уравнения определяем реакцию ). При записи этого уравнения распределенную нагрузку постоянной интенсивности q, действующую по какой-либо части балки, мысленно приводим к равнодействующей, которая равна произведению интенсивности q на длину этого участка и приложена в середине его длины.

; ; .

Сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира В равна нулю (из этого уравнения определяется ).

; ; .

Для контроля правильности определения опорных реакций можно использовать уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось y.

; ; .

Если балка состоит из частей, соединенных между собой шарниром (рис. 16, сечение С), это значит, что в этом сечении момент взаимодействия между частями балки равен нулю, а поэтому сумма моментов всех внешних сил, приложенных к левой или правой по отношению к врезанному шарниру частям балки, равен нулю.

Рис. 16

; . (для правой части балки)

; .

; ; .

Правило знаков для внутренних силовых факторов.

Для того, чтобы знаки эпюр не были привязаны к внешней системе координат, используется следующее соглашение: эпюры изгибающего момента строятся на стороне сжатой части балки (рис. 17).

Эпюра рисуется сверху Рис. 17 Эпюра рисуется снизу

Правило знаков для поперечной силы лучше запомнить как графическое (рис. 18).

Рис. 18а Рис. 18б

Для направления поперечной силы , представленного на рис. 18а, ординаты откладываются сверху от оси, а для направления поперечной силы , представленного на рис. 18б, ординаты откладываются снизу от оси.

Величины изгибающего момента и поперечной силы изменяются по длине балки в зависимости от внешней нагрузки и являются функциями координаты z.

Изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части относительно расчетного сечения (рис. 19).

П оперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил приложенных к отсеченной части (рис. 19).

Рис. 19

Рассмотрим стержень, работающий на изгиб и находящийся в условия равновесия. На расстоянии z от начала координат выделим элемент длиной dz и рассмотрим его равновесие (рис. 20).

Рис. 20

Запишем уравнения равновесия для элемента длиной dz.

; ;

(1)

Проинтегрировав уравнение (1), получим

. (2)

При условии , получим

. (3)

Запишем уравнение равновесия в виде суммы моментов всех внешних сил, действующих на выделенный элемент, относительно сечения А (рис. 20).

; ;

Пренебрегая величиной второго порядка малости, получим

. (4)

Проинтегрировав уравнение (4), получим

; (5)

При условии , получим

. (6)

Постоянные и определяются из граничных условий в начале рассматриваемого участка.

Основные дифференциальные зависимости, используемые при построение эпюр

, . (7)

Второй этап.

Алгоритм построения эпюр:

1) разбиваем балку на участки с постоянным законом изменения внешней нагрузки (для удобства расчетов на каждом участке начало координаты z переносим в начало каждого следующего участка);

2) последовательно на каждом из участков с помощью метода сечений и уравнений равновесия для отсеченных частей определяем и .

(сумма проекций всех сил – внешних и внутренних);

(сумма моментов всех внешних и внутренних сил относительно z-го сечения);

3) дифференциальные зависимости (7) используем для проверки правильности построения эпюр;

4) построенные эпюры изгибающего момента на сжатой части стержня отражают закон изменения кривизны оси изогнутой балки и позволяют представить ее приближенный вид.

Пример 3.1.

Для балки, шарнирно опертой по крайним сечениям и нагруженной сосредоточенной силой построить эпюры и . Изобразить приближенно ось изогнутой балки.