ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ГИМНАЗИЯ № 9 Г.ВИТЕБСКА»

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Доронина Диана Александровна,

учащаяся 10 «А» класса

Богданова Дарья Олеговна,

учащаяся 10 «А» класса

Руководитель

Скоринкина Мария Мечиславовна,

учитель математики

Витебск 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Применение ММИ в задачах на суммирование 4

Глава 2. Применение ММИ для доказательства неравенств 5

Глава 3. Применение ММИ в задачах на делимость 4

Глава 4. Применение ММИ в геометрических задачах 6

Глава 5. Применение ММИ для изучения свойств

числовых последовательностей 7

Глава 6. Применение ММИ для изучения свойств конечных

множеств 8

Глава 7. Подборка задач для самостоятельного решения 9

Заключение 14

Список использованных источников 15

Введение

При подготовке к районной олимпиаде по математике нам встретилась задача, для решения которой понадобились знания по теме ММИ. Однако школьное пособие не содержит нужной нам информации, и тогда мы решили при помощи дополнительной литературы более подробно изучить данный метод.

Метод математической индукции (ММИ) относится к самым важным методам математических доказательств. Он применяется для доказательства утверждений, зависящих от натурального числа. Существует несколько разновидностей метода математической индукции. Мы познакомимся с самой простой из них.

Предположим, в одну бесконечную цепочку выстроены кости домино. Если они установлены достаточно близко друг от друга – так, что любая из них, падая, опрокинет следующую стоящую за ней костяшку, мы повалим все. В этом и состоит суть ММИ, который мы ниже сформулируем более строго.

Предположим, что требуется проверить справедливость некоторого высказывания относительно произвольного натурального числа n. Тогда:

1. Если это высказывание истинно для некоторого начального значения , например, для (например, опрокидывается первая кость домино);

2. Из справедливости этого высказывания для значения следует справедливость его для следующего значения (например, очередная k-я кость опрокидывает следующую -ю), то это высказывание справедливо для любого натурального .

Данная тема является сегодня актуальной, выросла ее область применения, однако, материала для изучения и применения ММИ в школьных учебниках недостаточно.

Гипотеза: ММИ поможет при решении ряда задач

Цель исследования: изучение метода математической индукции.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

1. Систематизировать знания по теме ММИ

2. Применить ММИ при решении математических задач и доказательств теорем

3. Обосновать и наглядно показать практическое значение ММИ

1. Применение мми в задачах на суммирование

Пример 1. Докажите методом математической индукции истинность равенства .

Решение.

1. При левая часть содержит одно слагаемое 1, а правая часть равна . Поэтому доказываемое равенство принимает вид: . Это верное равенство, значит, при равенство истинно.

2. Предположим равенство истинно при , т.е. что справедливо равенство . Докажем, что тогда равенство истинно и при , т.е. что справедливо равенство . Имеем: . Но по предположению индукции сумма в квадратных скобках равна . Значит, вся сумма равна . Итак, . Тем самым по принципу математической индукции истинность равенства доказана для любых .

Пример 2. Докажите:

Решение.

Пусть . Воспользуемся методом математической индукции:

1. истинно, так как .

2. Пусть . Допустим, что истинно, т.е. верно равенство . Прибавим к обеим частям этого равенства . Получим: , а это означает, что истинно. Следовательно, равенство верно при любом натуральном .

2.Применение мми для доказательства неравенств

Пример 1. Докажите неравенство: ,

Решение.

Докажем данное неравенство методом математической индукции.

1. Если , то .

2. Предположим, что данное неравенство верно при , , т.е. .

3. Докажем, что неравенство верно и при , т.е. .

Следовательно, необходимо доказать, что .

Действительно, для

Таким образом, неравенство верно при , следовательно, оно будет верным при любом натуральном .

Пример 2. Докажем неравенство: .

Решение.

1. Выражение, содержащееся в левой части неравенства , представляет собой сумму дробей, знаменатели которых последовательно растут от 1 до . При оно обращается в 1. Но - истинное неравенство, следовательно, неравенство верно при .

2. Предположим, что .

3. Докажем, что тогда .

4. В самом деле, имеем: .

Итак, , где . Выражение представляет собой сумму дробей, каждая из которых больше, чем . Значит, . Поскольку , , то отсюда следует, что .

Истинность неравенства доказана.