1.12. Распределение Стьюдента. Коэффициент Стьюдента и случайная погрешность

При проведении эксперимента с малым числом измерений (малая выборка) закон распределения среднего значения отличается от нормального и представляет собой так называемое распределение Стьюдента. Сравнение распределения Гаусса и распределения Стьюдента показывает, что при числе измерений оба распределения практически совпадают. При n=10 среднее квадратичное отклонение (СКО) результата серии измерений отличается от , вычисленного по формуле (7), примерно на 13%, а при n=5 – приблизительно на 40%. Если же n<5, то различие будет намного больше.

При выполнении лабораторных работ число измерений является, как правило, небольшим. Принимая, что среднее квадратичное отклонение среднего можно определять по формуле (7). Из распределения Стьюдента вытекает, что случайная погрешность серии измерений будет равна

∆X _c=t _{γ n} * S _{< x >} (9)

где t _{γ n} - коэффициент Стьюдента, являющийся функцией заданной надежности γ и числа измерений n (определяется по таблицам Стьюдента смотри приложение), - среднее квадратичное отклонение среднего результата серии измерений, определяется по формуле (7).

Измерительные приборы вносят в полную погрешность приборную погрешность , которую легко определить, исходя из класса точности прибора. Если класс точности прибора неизвестен, то за приборную погрешность принимают половину цены деления шкалы.

1.13. Действия над приближенными числами

Все вычисления в физике проводят с приближенными числами, в силу чего необходимо уметь производить приближенные вычисления.

Все цифры в десятичном изображении числа (кроме нулей, стоящих в начале числа) называются значащими.

Например, в числе 0,01020 четыре значащих цифры, в числе 120,01 – пять значащих цифр.

При округлении последняя сохраняемая цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая меньше 5 и последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если старшая отбрасываемая цифра больше или равна 5. Если после округления окажется, что последняя сохраняемая цифра нуль, то его также следует записывать. Например, число 1,0197 округляют до тысячных долей, получая 1,020.

На практике обычно используется стандартная форма записи чисел. Число представляют в виде числа с одной значащей цифрой перед запятой, умноженное на 10 в соответствующей степени. Например, 5,210¹¹ или 2,310^-6 и т.д.

Арифметические действия над приближенными числами производят с соблюдением следующих правил:

1. При сложении и вычитании окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех младших разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из исходных данных:

27,8+1,324+0,66=29,8.

2. При умножении и делении сохраняют столько значащих цифр в ответе, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр:

3. При возведении в степень и извлечении корня сохраняют в результате столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени или подкоренном выражении:

4. При логарифмировании в результате вычисления оставляют в мантиссе столько значащих цифр, сколько имеется их в логарифмируемом числе (при любой характеристике):