2. Приклади розв'язування задач методом найменших квадратів

Приклад 3. Торговельне підприємство має мережу, що складається з 12 магазинів, інформація про діяльність яких представлена ​​в табл. 1. Керівництво підприємства хотіло б знати, як залежить розмір річного товарообігу від торгової площі магазина.

Таблиця 7.

Номер магазину	Річний товарообіг, тис $	Торгова площа, тис. м 2
1	19,76	0,24
2	38,09	0,31
3	40,95	0,55
4	41,08	0,48
5	56,29	0,78
6	68,51	0,98
7	75,01	0,94
8	89,05	1,21
9	91,13	1,29
10	91,26	1,12
11	99,84	1,29
12	108,55	1,49

Позначимо:

•  - Річний товарообіг  -го магазину;

•  - Торгова площа  -го магазину, тис. м ^2.

Для визначення форми функціональної залежності між змінними   і   побудуємо діаграму розсіювання (рис. 8).

Рис.8. Діаграма розсіювання для прикладу 3

На підставі діаграми розсіювання можна зробити висновок про те, що y зростатиме із зростанням  . Найбільш підходяща форма функціонального зв'язку - лінійна.

Інформація для проведення подальших розрахунків представлена ​​в табл. 8.

Таблиця 8

t	y t	x 1 t	y t 2	x 1 t 2	x 1t y t
1	2	3	4	5	6
1	19,76	0,24	390,4576	0,0576	4,7424
2	38,09	0,31	1450,8481	0,0961	11,8079
3	40,95	0,55	1676,9025	0,3025	22,5225
4	41,08	0,48	1687,5664	0,2304	19,7184
5	56,29	0,78	3168,5641	0,6084	43,9062
6	68,51	0,98	4693,6201	0,9604	67,1398
7	75,01	0,94	5626,5001	0,8836	70,5094
8	89,05	1,21	7929,9025	1,4641	107,7505
9	91,13	1,29	8304,6769	1,6641	117,5577
10	91,26	1,12	8328,3876	1,2544	102,2112
11	99,84	1,29	9968,0256	1,6641	128,7936
12	108,55	1,49	11783,1025	2,2201	161,7395
S	819,52	10,68	65008,554	11,4058	858,3991
Середнє	68,29	0,89

За допомогою методу найменших квадратів оцінимо параметри лінійної однофакторної економетричної моделі

(45)

Таким чином, 

Виходячи з цього, при збільшенні торгової площі на 1 тис. м ² при інших рівних умовах середньорічний товарообіг збільшується на 67887100 $.

Приклад 4. Керівництво підприємства помітило, що річний товарообіг залежить не тільки від торгової площі магазина (див. приклад 3), але і від середнього числа відвідувачів. Відповідна інформація представлена ​​в табл. 9.

Табл. 9

Номер магазину	Середнє число відвідувачів  в день, тис. чол.
1	8,25
2	10,24
3	9,31
4	11,01
5	8,54
6	7,51
7	12,36
8	10,81
9	9,89
10	13,72
11	12,27
12	13,92

Позначимо:  - Середнє число відвідувачів   -Го магазину в день, тис. чол.

Для визначення форми функціональної залежності між змінними   і   побудуємо діаграму розсіювання (рис. 9).

На підставі діаграми розсіювання можна зробити висновок про позитивну залежно річного товарообігу від середнього числа відвідувачів в день (тобто у зростатиме із зростанням   ). Форма функціональної залежності - лінійна.

Рис. 9. Діаграма розсіювання для 2 прикладу

В цілому необхідно визначити параметри двофакторної економетричної моделі

у _t = a ₀ + a ₁ х _{1 t} + a _{2 x 2 t} + ε _t (46)

Інформація, що вимагається для подальших розрахунків, представлена ​​в табл. 10.

Табл. 10

t	x 2t	x 2 t 2	y t x 2 t	x 1t x 2t
1	2	3	4	5
1	8,25	68,0625	163,02	1,98
2	10,24	104,8575	390,0416	3,1744
3	9,31	86,6761	381,2445	5,1205
4	11,01	121,2201	452,2908	5,2848
5	8,54	72,9316	480,7166	6,6612
6	7,51	56,4001	514,5101	7,3598
7	12,36	152,7696	927,1236	11,6184
8	10,81	116,8561	962,6305	13,0801
9	9,89	97,8121	901,2757	12,7581
10	13,72	188,2384	1252,0872	15,3664
11	12,27	150,5529	1225,0368	15,8283
12	13,92	193,7664	1511,016	20,7408
S	127,83	1410,44	9160,9934	118,9728
Середнє	10,65

Оцінимо параметри лінійної двофакторної економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.

(47)

(48)

Таким чином,

(49)

Оцінка коефіцієнта  показує, що при інших рівних умовах зі збільшенням торгової площі на 1 тис. м ² річний товарообіг збільшиться в середньому на 61658300 $.

Оцінка коефіцієнта  показує, що при інших рівних умовах зі збільшенням середнього числа відвідувачів на 1 тис. чол. в день річний товарообіг збільшиться в середньому на 2274800 $.

Приклад 5. Використовуючи інформацію, представлену в табл. 8 і 10, оцінити параметр однофакторної економетричної моделі

(50)

• де - Центроване значення річного товарообігу   -Го магазину, тис $.;

•  - Центроване значення середньоденного числа відвідувачів t-го магазину, тис. чол. .

Додаткова інформація, необхідна для розрахунків, представлена ​​в табл. 11.

Табл. 11

t
1	2	3	4	5
1	-48,53	-2,40	5,7720	116,6013
2	-30,20	-0,41	0,1702	12,4589
3	-27,34	-1,34	1,8023	36,7084
4	-27,21	0,36	0,1278	-9,7288
5	-12,00	-2,11	4,4627	25,3570
6	0,22	-3,14	9,8753	-0,6809
7	6,72	1,71	2,9156	11,4687
8	20,76	0,16	0,0348	3,2992
9	22,84	-0,76	0,5814	-17,413
10	22,97	3,07	9,4096	70,4503
11	31,55	1,62	2,6163	51,0267
12	40,26	3,27	10,6766	131,5387
Cума			48,4344	431,0566

Отримаємо . Таким чином

Приклад прогнозування методом найменших квадратів

В MS Excel за допомогою методу найменших квадратів є можливість будувати емпіричні формули двох видів: лінійну залежність y = a ×t + b і показникову залежність y = a ×b .

Для цього використовуються такі формули:

1. «=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(Y,T),1)» – дає значення параметра a лінійної залежності;

2. «=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(Y,T),2)» – дає значення параметра b лінійної залежності;

3. «=ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(Y,T),1)» – дає значення параметра b показникової залежності;

4. «=ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(Y,T),2)» – дає значення параметра a показникової залежності.

Тут Y – діапазон комірок, який містить значення показника часового ряду, T –діапазон комірок, який містить моменти часу.

Для заданої таблиці, яка показує динаміку кількості виїздів пожежних підрозділів, зробити прогноз кількості виїздів на наступний рік.

Такий прогноз можна дати за допомогою методу найменших квадратів, використовуючи емпіричну формулу у вигляді лінійної залежності, тобто у вигляді прямої лінії, яка проходить якнайближче до всіх заданих точок.

Порядок застосування методу:

• В робочому листі MS Excel створити наступну форму:

• В комірку B4 занести формулу “=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(B2:J2,B1:J1),1)”, яка дає значення параметра a лінійної залежності.

• В комірку B5 занести формулу “=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(B2:J2,B1:J1),2)”, яка дає значення параметра b лінійної залежності.

• В комірку B7 занести формулу “=B4*B6+B5”, яка дає значення прогнозу.

• В цій комірці установити числовий формат з нульовою кількість десяткових цифр після крапки.

• В комірку B6 занести значення 1996, тобто значення року, на який створюється прогноз кількості виїздів.

3. Порядок виконання роботи

1. Ознайомитися з теоретичною частиною.

2. Виконати індивідуальні завдання згідно свого варіанту.

3. Оформити звіт по результатах виконаної роботи.