1.3. Авл-деревья

Оптимальным для хранения в памяти является дерево, у которого на каж-дом уровне размещается максимально возможное число узлов. Такое дерево на-зывается сбалансированным. Двоичное дерево называется идеально сбалансированным, если число вершин в его левых и правых поддеревьях отличается не более чем на единицу. Поддержание идеальной сбалансированности требует слишком больших накладных расходов. Советскими математиками Адельсоном-Вельским и Ландисом предложено менее строгое определение сбалансированности деревьев: двоичное дерево называется сбалансированным в том и только в том случае, когда высоты двух поддеревьев каждой из вершин дерева отличаются не более, чем на единицу. Такие деревья стали называть АВЛ-деревьями [2, 3].

Рассмотрим аспекты балансировки АВЛ-дерева при выполнении операций включения и исключения ключей. Пусть рассматриваемое дерево состоит из корневой вершины r и левого (L) и правого (R) поддеревьев. Обозначим через hl высоту L, а через hr - высоту R. Пусть выполняется операция включения, и новый ключ включается в поддерево L. Если высота L не изменяется, то не изменяются и соотношения между высотами L и R, и свойства АВЛ-дерева сохраняются. Если же при включении в поддерево L высота этого поддерева увеличивается на единицу, то возможны следующие три случая:

• если hl = hr, то после добавления вершины поддеревья L и R станут разной высоты, но свойство сбалансированности сохранится;

• если hl < hr, то после добавления новой вершины L и R станут равной высоты, т.е. сбалансированность общего дерева улучшится;

• если hl > hr, то после включения ключа критерий сбалансированности нарушится и потребуется перестройка дерева.

Существует лишь два случая, каждый из которых требует индивидуального подхода к балансировке (рис. 6, а, б). Результаты балансировок показаны на рис. 6, в, г. (переходы от несбалансированных схем деревьев к соответствующим сбалансированным показаны стрелками). Примеры балансировок после включения узлов приведены на рис. 7. При исключении вершин из АВЛ-дерева также возможна его балансировка. Удаление терминальных вершин и вершин с одним потомком тривиально, вершину с двумя потомками заменяют на самую правую (левую) вершину его левого (правого) поддерева. Балансировка, возможно, потребуется, если уменьшилась высота дерева [3].

1.4. В-деревья

Механизм классических B-деревьев был предложен в 1972 г. Байером и Мак-Крейтом с целью организации эффективного внешнего поиска. B-дерево порядка m представляет собой сильноветвящееся дерево, удовлетворяющее следующим условиям [5]:

1. Каждый узел имеет не более m потомков.

2. Каждый узел, за исключением корня и листьев, имеет не менее m/2 потомков (через m/2 обозначено округление вправо, т.е. взятие наименьшего целого числа, которое не меньше m/2).

3. Корень, если он не является листом, имеет минимум двух потомков.

а в

б г

Рис. 6. Несбалансированность после включения – а, б; итоги балансировки – в, г

Рис. 7. Примеры балансировки АВЛ-деревьев после включения узлов

4. Все листья находятся на одном уровне и не содержат информации.

5. Нелистовой узел с k потомками содержит k-1 ключей.

На рис. 8 показан пример B-дерева порядка 5. Узлы В-дерева называются страницами. Они содержат ключи и ссылки на другие страницы. Ключи в каждом узле расположены в порядке возрастания слева направо с использованием естественного обобщения концепции симметричного порядка, количество листьев на единицу больше количества ключей. Так как листья являются «пустыми», ссылки из предшествующих листьям страниц можно сделать ни на что не указывающими.

Рис. 8. B-дерево порядка 5

Поиск в B-дереве прямолинеен. Рассмотрим поиск заданного ключа k. В основную память считывается корневая страница B-дерева. Предположим, что она содержит ключи k₁, k₂, ..., k_n и ссылки на страницы p₀, p₁, ..., p_n. В ней последовательно (или с помощью какого-либо другого метода поиска в основной памяти) ищется ключ k. Если он обнаруживается, поиск завершен. Иначе возможны три ситуации:

1. Если в считанной странице обнаруживается пара ключей k_i и k_i+1 такая, что k_i <k <k_i+1, поиск продолжается на странице, на которую указывает p_i.

2. Если обнаруживается, что k > k_n, поиск продолжается на странице, на которую указывает p_n.

3. Если обнаруживается, что k < k₁, поиск продолжается на странице, на которую указывает p₀.

Для внутренних страниц поиск продолжается аналогичным образом, пока либо не будет найден ключ k, либо не будет достигнута листовая страница (обнаружена необходимость перехода по ссылке, которая ни на что не указывает). Если достигнута листовая страница, ключ k в B-дереве отсутствует.

Чтобы вставить новый ключ k в B-дерево порядка m, в котором все листья расположены на уровне l, необходимо вставить новый ключ в подходящее место на уровне l-1. Можно осуществить поиск ключа k описанным выше способом и дойти до нужной страницы А, предшествующей листовой. Далее возможны два случая. Если страница А содержит менее m ссылок на потомков, ключ k помещается на свое место, определяемое порядком сортировки ключей в странице. Если же данная страница уже заполнена, то необходимо разбить страницу А на две страницы. При этом создается новая страница C. Ключи из страницы A и ключ k поровну распределяются между A и C, а средний ключ вместе со ссылкой на страницу C переносится в непосредственно родительскую для А страницу B (рис. 9). Такое деление может повлечь деление страницы B и т.д. до корня, который также может быть разделен. В последнем случае будет создан новый корень (высота дерева увеличится на единицу), в который переместится средний ключ из совокупности ключей предыдущей корневой страницы и ключа k. При исключении различают два случая – удаление ключа из страницы, непосредственно предшествующей листовой, и удаление ключа из внутренней страницы. В первом случае удаляемый ключ убирается из списка ключей. Во втором случае для сохранения корректной структуры B-дерева удаляемый ключ необходимо заменить минимальным (максимальным) ключом страницы, предшествующей листовой, достигнутой при переходе от страницы с удаляемым ключом вначале по самой правой (левой), а затем по всем самым левым (правым) ссылкам. В любом из указанных случаев может возникнуть ситуация, в которой одна из страниц после удаления будут содержать меньшее, чем требуется, количество ключей. Поэтому если в некоторой странице А количество ключей оказалось меньшим, чем m/2-1, необходимо осуществить процедуру перераспределения ключей или слияния. Для этого берется одна из соседних (в частности, с максимальным количеством ключей) листовых страниц – страница В (у страниц А и В имеется общая страница-предок); если на странице B имеется не менее m/2 ключей, возможно перераспределение. При этом ключи, содержащиеся в страницах А и В, а также средний ключ страницы-предка поровну распределяются между ними, и новый средний ключ заменяет тот, который был заимствован у страницы-предка.

а б Рис. 9. Пример включения в B-дерево (листья не показаны): а – попытка вставить ключ 23 в заполненную страницу; б – выполнение включения ключа 23

Если количество ключей на странице В равно минимально возможному – m/2-1, следует выполнить процедуру слияния страниц А и В. При этом к ключам страниц А и В добавляется средний ключ из страницы-предка (из страницы-предка он изымается), эти ключи формируют содержимое страницы, полученной слиянием страниц А и В. Поскольку в странице-предке число ключей уменьшилось на единицу, может оказаться, что число элементов в ней стало меньше m/2-1, тогда на этом уровне выполняется процедура перераспределения, а возможно, и слияния. Так может продолжаться до внутренних страниц, находящихся непосредственно под корнем B-дерева. При необходимости слияния страниц, общим предком которых является корень, содержащий единственный ключ, высота дерева уменьшится на единицу. Пример удаления ключа из В-дерева порядка 5 со слиянием показан на рис. 10.

Рис. 10. Пример удаления ключа 29 из B-дерева