Транспортная сеть
Транспортная задача может быть задана в виде специальной схемы – транспортной сети. Пункты расположения поставщиков и потребителей изображаются кругами и называются вершинами сети. Мощности поставщиков будем отмечать положительными числами, а спрос потребителей – отрицательными числами. Дороги, связывающие поставщиков и потребителей, изображаются в виде линий и называются ребрами сети. Реальный масштаб не соблюдается. Возможны вершины с нулевым запасом груза – нулевые вершины.
В процессе решения открытая модель всегда сводится к закрытой модели. Поэтому сначала рассмотрим закрытую модель. Нужно построить первоначальный план поставок любым способом. Поставки груза из вершины в вершину будем обозначать стрелками с указанием величин поставок.
На план поставок налагаются следующие условия:
1) все мощности поставщиков должны быть распределены;
2) весь спрос потребителей должен быть удовлетворен;
3) к каждой вершине должна подходить или выходить из нее хотя бы одна стрелка;
4)число стрелок = число вершин – 1;
5) стрелки не должны образовывать замкнутый контур (при этом неважно, двигаемся мы по стрелкам или против них).
Особый случай транспортной задачи в
сетевой постановке проявляется в том,
что при полном использовании мощностей
поставщиков и полном удовлетворении
спроса потребителей число стрелок
,
где
– общее число вершин (в том числе и
нулевые). Тогда дополнительно вводится
нужное количество стрелок. При этом
стрелки не должны образовывать контур.
Первоначальный план поставок в транспортной сети
П
3
ример 7. Найдем первоначальный план поставок (рисунок 2.8.).
4
1
3
200
−60
40
240
1
5
5
5
−150
8
3
2
4
−140
4
2
7
6
7
−130
Рисунок 2.8 – Первоначальный план поставок.
Способ расстановки стрелок может быть любым. Важно только выполнение условий 1 – 5. Все поставки указаны стрелками (см. рисунок 2.9.).
4
1
3
3
200
−60
60
−140
40
−130
240
1
5
5
5
140
−150
8
3
2
4
40
110
4
7
130
2
6
7
Р
исунок
2.9 – План поставок, вариант 2
У нас стрелок пять и вершин семь. Не
выполняется следующее условие: число
стрелок = число вершин – 1, так как
.
Введем еще одну стрелку с нулевой
поставкой. Например, 1→5. Получим следующий
первоначальный план поставок (см. рисунок
2.10.).
4
1
3
3
0
200
−60
60
40
−130
240
1
5
5
5
140
−150
8
3
2
4
40
110
4
−140
7
130
2
6
7
Рисунок 2.10 - План поставок, вариант 3
Затраты на перевозку равны
Проверка плана поставок на оптимальность
Нужно проверить план поставок на оптимальность. Для этого требуется вычислить потенциалы вершин.
Одной из вершин припишем неотрицательное значение потенциала (например, 0). Для наглядности потенциал будем заключать в квадрат. Двигаясь по стрелкам, определяем потенциалы остальных вершин по следующему правилу:
1) если мы двигаемся по стрелке, то к потенциалу вершины прибавляем стоимость перевозки единицы груза по этой стрелке (а не число, которое написано на стрелке);
2) если мы двигаемся против стрелки, то из потенциала вершины вычитаем стоимость перевозки единицы груза по этой стрелке.
После вычисления потенциалов вершин нужно найти характеристики ребер без стрелок по следующему правилу: стоимость перевозки единицы груза для данного ребра – больший потенциал вершин этого ребра + меньший потенциал вершин этого ребра.
Если нет ребер с отрицательными характеристиками, то получен оптимальный план поставок.
Пример 8. Проверим план поставок из примера 7 на оптимальность. Припишем вершине 1 потенциал 0.
Из вершины 1 в вершину 2 ведет стрелка. Стоимость перевозки единицы груза для данного ребра равна 1. Поэтому потенциал вершины 2 равен 0 (потенциал вершины 1) + 1 (стоимость перевозки единицы груза по ребру 1→2) = 1.
Из вершины 1 в вершину 5 ведет стрелка. Стоимость перевозки единицы груза для данного ребра равна 3. Поэтому потенциал вершины 5 равен 0 (потенциал вершины 1) + 3 (стоимость перевозки единицы груза по ребру 1→5) =3.
В вершину 5 из вершины 7 ведет стрелка. Стоимость перевозки единицы груза для данного ребра равна 4. Поэтому потенциал вершины 7 равен 3 (потенциал вершины 5) – 4 (стоимость перевозки единицы груза по ребру 7→5) = −1. И т.д. (см. рисунок 2.11.).
4
1
3
3
0
0
4
200
−60
60
−140
40
−130
240
1
5
5
5
140
3
−150
8
3
2
4
40
110
4
7
130
-1
2
1
-5
6
6
7
Рисунок 2.11 – План поставок, вариант 4
У нас четыре ребра без стрелок (1,6), (2,4), (3,4), (4,6). Найдем их характеристики.
Характеристика ребра (1,6) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (1,6)
– больший потенциал вершин ребра (1,6) +
меньший потенциал ребра (1,6
.
Характеристика ребра (2,4) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (2,4)
– больший потенциал вершин ребра (2,4) +
меньший потенциал ребра (2,4)
Характеристика ребра (3,4) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (3,4)
– больший потенциал вершин ребра (3,4) +
меньший потенциал ребра (3,4)
Характеристика ребра (4,6) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (4,6)
– больший потенциал вершин ребра (4,6) +
меньший потенциал ребра (4,6)
Характеристики ребер (1,6), (2,4), (3,4), (4,6) отрицательны. Поэтому полученный план поставок не является оптимальным.