Улучшение плана поставок
Выбираем ребро с наименьшей отрицательной характеристикой и рисуем к нему стрелку от вершины с меньшим потенциалом к вершине с большим потенциалом. Образуется замкнутый контур из стрелок (при этом не важно, двигаемся мы по стрелкам или против них).
Определяем минимум среди поставок для стрелок этого контура, направление которых противоположно направлению новой стрелки.
Для контура поставки на стрелках в направлении новой стрелки увеличим на этот минимум, а поставки на стрелках противоположного направления уменьшим на этот минимум. Стрелка, которой соответствует выбранный минимум, ликвидируется. Поставки для стрелок вне контура остаются без изменений.
Для нового плана поставок число стрелок = число вершин 1. К этому плану поставок мы можем применить рассмотренный выше алгоритм проверки на оптимальность.
Пример 9. Характеристика ребра (1,6)
.
Характеристика ребра (2,4)
.
Характеристика ребра (3,4)
.
Характеристика ребра (4,6)
.
У ребра (4,6) наименьшая отрицательная характеристика (−3). Рисуем к нему стрелку от вершины с меньшим потенциалом (4) к вершине с большимпотенциалом (6) (см. рисунок 2.12.).
3
1
3
2
0
0
3
190
−70
70
−130
1
4
4
5
2
120
−150
2
7
30
2
4
120
30
3
−120
0
6
7
130
1
-1
3
6
7
250
Рисунок 2.12 – План поставок, вариант 5
Образуется замкнутый контур из стрелок 4 – 6 – 7 – 5 – 4 (при этом не важно, двигаемся мы по стрелкам или против них). В этом контуре направление стрелок 7→6 и 4→5 противоположно направлению новой стрелки 4→6.
Определим минимум среди поставок для
стрелок 7→6 и 4→5:
Для контура 4 – 6 – 7 – 5 – 4 поставки на
стрелках в направлении новой стрелки
4→6 (4→6 и 7→5) увеличим на этот минимум:
и
соответственно.
Для контура 4 – 6 – 7 – 5 – 4 поставки на
стрелках 7→6 и 4→5 уменьшим на этот
минимум:
и
соответственно, то есть стрелку 4→5
ликвидируем.
Поставки для стрелок вне контура остаются без изменений. Число стрелок = 6 = число вершин – 1. Получаем следующий план поставок (см. рисунок 2.13). Исследуем его на оптимальность.
3
1
3
2
0
0
3
190
−70
70
−120
30
−130
−150
250
1
4
4
5
120
3
2
7
2
4
150
3
3
30
6
7
100
-1
3
1
6
7
Рисунок 2.13 – План поставок, вариант 6
Припишем вершине 1 потенциал 0 и пересчитаем потенциалы других вершин. У нас 4 ребра без стрелок: (1,6), (2,4), (3,4), (4,5). Найдем их характеристики.
Характеристика ребра (1,6) = стоимость перевозки единицы груза для ребра (1,6) – больший потенциал вершин ребра (1,6) + меньший потенциал ребра (1,6) .
Характеристика ребра (2,4) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (2,4)
– больший потенциал вершин ребра (2,4) +
меньший потенциал ребра (2,4)
.
Характеристика ребра (3,4) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (3,4)
– больший потенциал вершин ребра (3,4) +
меньший потенциал ребра (3,4)
.
Характеристика ребра (4,5) = стоимость
перевозки единицы груза для ребра (4,5)
– больший потенциал вершин ребра (4,5) +
меньший потенциал ребра (4,5)
.
Характеристика ребра (1,6) отрицательна. Поэтому полученный план поставок не является оптимальным. Рисуем к ребру (1,6) стрелку от вершины с меньшим потенциалом (1) к вершине с большим потенциалом (6) (см. рисунок 2.14.).
3
1
3
2
0
0
3
190
−70
70
−120
30
−130
250
1
4
4
5
2
−150
2
120
7
2
4
150
3
3
7
30
100
-1
3
1
6
6
7
Рисунок 2.14 – План поставок, вариант 7
Образуется замкнутый контур из стрелок 1 – 6 – 7 – 5 – 1 (при этом неважно, двигаемся мы по стрелкам или против них). В этом контуре направление стрелок 7→6 и 1→5 противоположно направлению новой стрелки 1→6.
Определим минимум среди поставок для стрелок 7→6 и 1→5:
.
Поэтому все поставки остаются без
изменений. Стрелку 1→5 ликвидируем.
Число стрелок = 6 = число вершин – 1. Получаем следующий план поставок (см. рисунок 2.15). Проверим его на оптимальность.
3
0
3
1
2
190
−70
70
−120
−130
−150
250
4
3
5
0
120
1
2
4
2
4
150
0
30
7
3
1
4
-3
30
3
1
100
7
6
7
Рисунок 2.15 – План поставок, вариант 8
Убеждаемся, что нет ребер с отрицательными
характеристиками, то есть это оптимальный
план поставок. Затраты на перевозку
равны: