Теплопровідності l: а - для діелектриків; б - для металів

У діелектриках, які практично не мають вільних електронів, перенесення тепла здійснюється тільки фононами. Вище було сказано, що середня довжина вільного пробігу залежить від процесів розсіювання фононів на різних об'єктах. Все це призводить до того, що температурна залежність коефіцієнта теплопровідності χ_т для діелектриків має вигляд кривої з максимумом (рис. 2.13.2а). Ліва висхідна гілка залежності обумовлена збільшенням числа фононів із зростанням температури, а права спадна пов'язана з послаблюючими фонон - фононним та іншими видами розсіювання. Вид залежності χ_т(T) для металів (рис. 2.13.2б) якісно схожий на криву для діелектриків. Це пов'язано з перевагою при дуже низьких температурах фононного механізму теплопередачі. Однак зі зростанням температури внесок фононній складової в цей процес стає дуже малий і теплопередача здійснюється в основному вільними електронами. При відносно високих температурах в металах коефіцієнт теплопровідності χ_т практично перестає змінюватися із збільшенням Т.

2.13.3 Теплове розширення твердих тіл

У твердому тілі атоми при будь-якій температурі безперервно роблять коливання біля середнього положення рівноваги. Якщо амплітуди таких коливань малі, то їх можна вважати гармонійними.

Рис. 2.13.3. Залежність потенційної енергії взаємодії атомів

Від міжатомної відстані

Всі можливі коливання пов'язаних атомів можна представити як сукупність взаємодіючих пружних хвиль різної довжини, що поширюються по всьому об'єму кристала. При цьому, т. к. тверде тіло обмежено за розміром, при даній температурі встановлюється стаціонарний стан коливань, які представляють собою суперпозицію стоячих хвиль.

Будемо виходити із залежності потенційної енергії взаємодії атомів від міжатомної відстані (рис. 2.13.3). Мінімум кривої відповідає балансу сил притягання і відштовхування і має місце при r = r₀, що відповідає рівноважному відстані між частинками.

Для малих відхилень від точки рівноваги потенційну енергію системи взаємодіючих атомів U(r) можна розкласти в ряд Тейлора поблизу точки r = r₀, причому r₀ - рівноважна відстань між атомами, r - координата атома в довільний момент часу:

(2.13.6)

Позначимо у формулі (2.13.6)

а зсув з положення рівноваги r-r₀ =u, тоді

(2.13.7)

У гармонійному наближенні залежність потенційної енергії від зсуву U(u)- параболічна функція:

, (2.13.8)

тобто атом є гармонійним осцилятором і коливається в симетричній потенційної ямі (рис. 2.13.4). При збільшенні амплітуди коливань атом переходить на все більш високі рівні енергії U=U_T. На кожному збудженому рівні, відповідному певній температурі (і T₁,T₂ т. д.), відстань між гілками параболи (відстані |A₁B₁|, |A₂B₂| і т. д. ) визначає подвоєну амплітуду коливань. Однак значення r₀=x₁= x₂= x₃= залишається постійним, тобто середнє положення атома в гратці при гармонічних коливаннях не змінюється

Рис. 2.13.4. Залежність потенційної енергії взаємодії між двома атомами від відстані між ними в гармонійному наближенні

(T₁< T₂< T₃)

Інша справа при урахуванні в розкладанні потенційної енергії додатку, що містить куб зсуву (u³). При температурі T₁ атом буде відхилятися так само, як і у випадку параболічної потенційної ями, вліво до точки A₁ і вправо до точки B₁ на однакові відстані (рис. 2.13.5).

Рис. 2.13.5. Залежність потенційної енергії взаємодії між двома атомами з урахуванням ангармонізму коливань (T₁< T₂< T₃<…)

При деякій досить помітної температурі (на рисунку це температури T₄, T₅ і т. д.) відхилення атома від положення рівноваги r₀ вліво і вправо не рівні і середні значення x₄ x₅ і т. д. будуть відповідати значенням r, відмінним від рівноважного. Потенційна енергія при збільшенні r змінюється повільніше, ніж по гармонійному закону, і U(-u) – U₀> U(u) – U₀. Обмежуючись третьою похідною, потенційну енергію U(u) = U(r) –U(r₀) можна представити у вигляді

, (2.13.9)

де коефіцієнт γ >0. Коефіцієнт γ в рівнянні (2.13.9) визначає ступінь відхилення U(r) від параболічної залежності і називається (як зазначено вище) коефіцієнтом ангармонізму. Сила, що діє на осцилятор при його відхиленні від положення рівноваги в ангармонічним наближенні, буде мати вигляд

. (2.13.10)

Таким чином, при збільшенні амплітуди коливань осцилятора з зростанням температури відбувається збільшення середнього за часом значення його рівноважної координати, тобто відбувається теплове розширення твердого тіла.

Для опису теплового розширення твердого тіла можна скористатися наближеною моделлю, в якій гратка замінена на сукупність ангармонічних осциляторів. Гармонійна модель узгоджується з багатьма експериментальними даними. Однак деякі властивості кристалів, наприклад теплове розширення, можуть бути пояснені лише при врахуванні кубічного доданка у виразі для енергії (2.13.6). Таке наближення називають ангармонічним .

Ангармонізм коливань атомів призводить до того, що силові постійні, що характеризують величину сил міжатомного зв'язку залежать від амплітуди коливань а значить, і частота починає залежати від амплітуди зміщень. Ангармонізм веде і до виникнення таких явищ, як теплове розширення. Зв’яжемо коефіцієнт теплового розширення α (який присутній у виразі для подовження тіла ) з коефіцієнтом ангармонізму . Відносне зміна розміру тіла при нагріванні дорівнює відношенню середнього значення відхилення атома від рівноважного положення до значення рівноважного відстані між сусідніми атомами r₀:

. (2.13.11)

Таким чином, середнє зміщення атомів від положення рівноваги при нагріванні пропорційно температурі і коефіцієнту ангармонізму  та обернено пропорційно квадрату коефіцієнта квазіпружної сили. Підставивши у формулу (2.13.11), отримаємо для відносного подовження тіла при нагріванні:

. (2.13.12)

Звідси

. (2.13.13)

Рівняння (2.13.13) свідчить про те, що коефіцієнт теплового розширення  прямо пропорційний постійної ангармонізму , причому знаки їх збігаються. Знак  визначається характером асиметрії потенційної енергії U ( r ) поблизу положення рівноваги.

Якщо гілка при r <r₀ змінюється круче, ніж при r> r₀, то при нагріванні тіло розширюється, якщо навпаки, то стискається. Якщо гілки симетричні, розміри тіла не змінюються.

Формула (2.13.12) справедлива для полікристалічних тіл, і  тут середній коефіцієнт лінійного теплового розширення. Монокристали мають анізотропію властивостей, а значить, і коефіцієнт лінійного розширення для різних напрямів усередині кристала в загальному випадку буде мати різні значення. Якщо з монокристалу виточити кулю, а потім нагріти або охолодити її, то при зміні температури монокристал втратить сферичну форму і перетвориться на тривісний еліпсоїд, осі якого пов'язані з кристалографічними осями координат кристала.

Для характеристики теплового розширення існує, як було показано, коефіцієнти лінійного α і об'ємного δ розширення . Коефіцієнт лінійного розширення, характеризує відносне подовження ΔL/L₀, що відбувається при нагріванні тіла на 1К.

В результаті лінійного розширення збільшується об'єм тіла. Виявляється, що в першому наближенні об’єм V твердого тіла зростає пропорційно першої ступені температури:

де V₀- об'єм тіла при температурі 0°С, a δ- коефіцієнт об'ємного розширення, що характеризує відносне збільшення об'єму, що відбувається при нагріванні тіла на 1К.

Легко показати, що між коефіцієнтами α і δ ізотропного тіла існує наступний наближений зв'язок δ= 3α.

Завдання для самопідготовки

1. Чи слід обов’язково враховувати теплове розширення у разі підбору компонентів суміші дорожньо-будівельних матеріалів,?

2. Чим визначається теплоємність речовини у будь-якому її агрегатному стані?

3. Чим відрізняться механізм теплопровідність діелектриків та металів?

4. Які особливості структури твердих тіл?

5. Чим пояснити теплове розширення твердих тіл?

6. У чому відмінність механізмів процесу теплопровідності у металів »

інших твердих тіл?

7. Сформулюйте закон Дюлонга і Пті. Як отримати цей закон на основі класичної теорії теплоємності ? Які труднощі виникають у цій теорії при її застосуванні до металів ?

8. У чому полягає основна ідея квантової теорії теплоємності твердих тіл?

9. Вода у ставку знаходиться при Т₁=0^оС, температура воздуха Т₂ =-10^оС. Який шар льод утворюється за добу, якщо густина льоду ρ=0,9г/см³,температура його поверхні співпадає з температурою повітря. Теплота плавління льоду θ =80кал/г, коефіціент теплопровідності льоду λ=0,005кал/см·с·К.

Відповідь:h=11,2см.