2.13.2 Теплопровідність твердих тіл

Теплопровідністю називається процес перенесення тепла від більш нагрітих частин тіла до менш нагрітих, що приводить до вирівнювання температури тіла. У твердих тілах, на відміну від рідин і газів, неможлива конвекція (передача тепла потоками нагрітого речовини), тому перенесення тепла здійснюється тільки за рахунок коливань кристалічної гратки.

Хороша теплопровідність - один з відмінних ознак металів. У інших типів твердих тіл (наприклад, у кристалічних діелектриків) коефіцієнти теплопровідності значно менше, ніж у металів. Досліди показали, що теплопровідність металів тим більше, чим більше їх електропровідність, тому природно зробити висновок про те, що процес теплопровідності в металах в основному здійснюється за рахунок перенесення енергії вільними електронами. Це явище описується тим же рівнянням Фур'є, яке було встановлено для теплопровідності газів.

Крім електронної теплопровідності, в металах є також теплопровідність, яка здійснюється кристалічною граткою (граткова теплопровідність). Однак вона не відіграє суттєвої ролі в загальній теплопровідності металів.

Теплопровідність більшості чистих металів повільно зменшується з підвищенням їх температури. Для сплавів зазвичай має місце зворотне явище. Механізм теплопровідності кристалічних граток твердих тіл, що не містять вільних електронів, якісно відмінний від механізму теплопровідності металів. Теплопровідність таких твердих тіл тісно пов'язана з характером теплового руху частинок, що утворюють їх кристалічні гратки. Справа в тому, що ці частинки пов'язані одна з одною силами взаємодії, залежними від відстані між ними. Тому теплові коливання одних частинок передаються іншим. Таким чином, в кристалі повинні поширюватися пружні (акустичні) хвилі, що переносять енергію теплових коливань від одних вузлів до інших. Отже, атоми у вузлах гратки здійснюють теплові (акустичні) коливання при будь якій відмінної від абсолютного нуля температурі.

Найбільш простою і фізично наочною моделлю теплових коливань гратки є хвильова модель. У ній нормальні коливання атомів твердого тіла замінюються відповідним набором пружних хвиль, що задовольняють циклічним граничним умовам. Циклічні граничні умови, що визначають для моделей моноатомної і двоатомної одновимірних ланцюжків атомів, набір дозволених значень хвильових чисел, дозволяють розглядати процес поширення пружних хвиль без урахування ефектів віддзеркалення на кордонах кристала.

Заміна нормальних коливань сукупністю пружних хвиль дозволяє, з одного боку, знаходити відповідні їм значення частот, а з іншого, використовуючи ідею квантово - хвильового дуалізму в квантовій механіці, - ввести поняття квазічастинок, що описують елементарні теплові збудження в твердому тілі, і приписати кожної такої квазічастинки певну енергію і імпульс. Така модель передбачає, що енергія коливань решітки, або енергія пружної хвилі, є квантової величиною.

Квант енергії пружної хвилі називають фонони (за аналогією з фотоном). У застосуванні до фононів справедливі всі концепції корпускулярно - хвильового дуалізму.

Теплові коливання атомів у кристалах можна розглядати як процес термічного збудження фононів за аналогією з термічним збудженням фотонів, а теплопередачу - як процес поширення фононів (так само, як процес поширення електромагнітних хвиль можна пов'язати з процесом поширення фотонів).

Тепер теплові коливання решітки (збуджений стан решітки) можна представити як ідеальний газ фононів, що вільно рухається в об’ємі кристала. Фононний газ в певному інтервалі температур поводиться подібно ідеальному газу, а оскільки фонони є основними переносниками тепла в твердому тілі (це твердження справедливе лише для діелектриків), то коефіцієнт теплопровідності твердого тіла можна виразити такою ж залежністю, як коефіцієнт теплопровідності ідеального газу

, (2.13.4)

де C^* - теплоємність одиниці об'єму фононного газу, l_ф - середня довжина вільного пробігу фонона, v_з - швидкість поширення звуку в даному тілі.

Обчислення середньої довжини вільного пробігу фонона являє собою складну задачу, оскільки вона залежить від того, на чому відбувається розсіяння фононів: на інших фононах, на дефектах структури або на зовнішніх гранях зразка. Однак теоретичний аналіз призводить до того, що при досить високих температурах середня довжина вільного пробігу фонона обернено пропорційна абсолютній температур.

У досить чистих і бездефектних кристалах при температурі, близькій до абсолютного нуля, виникає залежність середньої довжини вільного пробігу фононів від розмірів зразка. Це пояснюється тим, що при низьких температурах концентрація фононів мала, а отже, мала ймовірність розсіяння фононів на інших фононах.

Вважаючи середню довжину вільного пробігу фононів приблизно рівною лінійним розмірам кристала, тобто , де L - лінійний розмір кристала, можна рівняння (2.13.4) переписати у вигляді

(2.13.5)

У правій частині рівняння (2.13.5) від температури залежить тільки теплоємність одиниці об'єму фононного газу. При температурах, близьких до абсолютного нуля, теплоємність пропорційна T³, тому і коефіцієнт χ_т теплопровідності пропорційний кубу абсолютної температури. Такий висновок підтверджується експериментальними даними. Слід додати, що анізотропія сил зв'язку в кристалах приводить до анізотропії коефіцієнта теплопровідності.

Все вищесказане відноситься до гратковій (фононній) частини теплопровідності твердого тіла, властивості неметалевим кристалам. У металах у перенесенні тепла, крім атомів кристалічної гратки, беруть участь ще і вільні електрони, які одночасно є і носіями електричного заряду, забезпечуючи високу електропровідність металів. Більше того, в чистих металах основними носіями тепла є саме вільні електрони, а не фонони. При досить високих температурах металів граткова складова теплопровідності складає всього 1-2 % від електронної теплопровідності. Цим пояснюється висока теплопровідність чистих металів порівняно з діелектриками. Наприклад, в алюмінію при кімнатній температурі коефіцієнт теплопровідності χ_т = 2,2·10⁶ Вт/(см·К), що приблизно на два порядки більше, ніж у кварцу. Однак при дуже низьких температурах в металах електронна частина теплопровідності менше, ніж граткова. Це пояснюється ефектами електрон - фононного розсіювання.

На рис. 2.13.2 приведений вид залежності теплопровідності від температури для діелектриків і металів.

Рис. 2.13.2. Порівняльні температурні залежності коефіцієнта