2.3.2. Теплопровідність

У тому випадку коли в одній області газу середня кінетична енергія молекул більше, ніж в іншій, то з плином часу внаслідок постійних зіткнень молекул відбувається процес вирівнювання середніх кінетичних енергій молекул, тобто іншими словами, вирівнювання температур.

Якщо шари газу мають різну температуру, то в газі виникає перенесення тепла від більш нагрітого шару до менш нагрітого, тобто має місце явище теплопровідності. Припустимо, що температура газу змінюється тільки в напрямку осі z (рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1. Теплопровідність газу

Експериментально встановлено, що в цьому випадку теплопровідність газу визначається формулою Фур'є

(2.3.1)

де dQ - кількість теплоти, яку переносно за час dt через площину S, розташовану перпендикулярно осі z; - градієнт температури газу; χ - коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом теплопровідності. Він залежить від властивостей газу і тих умов, при яких знаходиться газ.

У шарі з великою температурою, молекули газу мають б більшу середню кінетичну енергію, ніж у шарі з меншою температурою. Потрапляючи при хаотичному русі в цей шар, вони при зіткненнях з іншими молекулами шару передають їм надлишок своєї енергії і тим самим збільшують його температуру. Навпаки, молекули, що потрапляють з шару з меншою температурою в шар з більшою температурою, будуть збільшувати в ньому свою енергію за рахунок інших молекул шару і тим самим будуть знижувати його температуру. Тому в молекулярно - кінетичної теорії перенесення кількості теплоти dQ через площину S розглядається, як перенесення через цю площину середньої кінетичної енергії хаотичного руху молекул.

Припишемо молекулам, що пролітають площину S знизу вгору, середню енергію, відповідну температурі , у площині , а молекулам, що летять зверху вниз, значення енергії, яке визначається температурою , у площині . Тут - середня довжина вільного пробігу молекул.

Як відомо, середня кінетична енергія молекули газу пов'язана з його температурою співвідношенням . Тому вгору через площину S з нижнього шару однією молекулою в середньому переноситься енергія , а назад . Відповідно з верхнього більш гарячого шару вниз переноситься енергія , а назад .

Різниця цих величин, яка дорівнює , являє собою середню енергію, що переноситься однією молекулою, яка перелітає з шару у шар.

При невеликій різниці у температурі шарів газу можна вважати, що добуток числа n молекул в одиниці об'єму газу на середню швидкість молекул для обох шарів приблизно однаковий. Тоді число молекул, що пролітають в одному напрямку через площину S в одиницю часу, дорівнює

.

Таким чином, кількість середньої кінетичної енергії хаотичного руху молекул, яка перенесена через площину S за час dt, тобто тепло, яке переноситься, дорівнює

(2.3.2)

Рівняння (2.3.2) являє собою закон Фур'є.

Порівнюючи отримане співвідношення з емпіричною формулою (2.3.1), неважко знайти, що коефіцієнт теплопровідності дорівнює

(2.3.3)

Це співвідношення можна перетворити, якщо ввести питому теплоємність с_v. Оскільки ( ) є, очевидно, середня енергія молекул в одиниці об'єму газу, то кількість теплоти, необхідне для нагрівання одиниці об'єму газу на один градус при постійному об'ємі, дорівнює . Оскільки маса одиниці об'єму газу дорівнює його густині ρ, то питома теплоємність газу

,

Звідки . Підставивши це у формулу (2.3.3), отримаємо

(2.3.4)

Коефіцієнт теплопровідності χ не залежить від тиску газу. Крім того, χ зростає при збільшенні температури пропорційно .

_{Якщо ввести поняття густини теплового потоку jE, то закон Фур’є буде мати вигляд}

(2.3.5)

Потік - величина, що визначається енергією, яку переносять молекули у формі теплоти в одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну осі z. Знак мінус показує, що в явищі теплопровідності енергія переноситься в напрямку убування температури, тобто і мають протилежні знаки. Звідки можна визначити, що коефіцієнт теплопровідності чисельно дорівнює густині теплового потоку при градієнті температури, який дорівнює одиниці.

Діючи аналогічним чином можна знайти основні співвідношення для явищ дифузії та внутрішнього тертя.