2.2.2. Барометрична формула. Розподіл Больцмана

При виведенні основного рівняння МКТ газів і максвеллівського розподілу молекул за швидкостями передбачалося, що на молекули газу зовнішні сили не діють, тому молекули рівномірно розподілені за об'ємом.

Однак молекули будь-якого газу знаходяться в потенційному полі тяжіння Землі. Тяжіння, з одного боку, і тепловий рух молекул - з іншого, призводять до деякого стаціонарного стану газу, при якому тиск газу з висотою убуває.

Виведемо закон зміни тиску з висотою, припускаючи, що

1. полі тяжіння однорідно, 2) температура постійна і 3) маса всіх молекул однакова.

При зростанні висоти на невелику величину dx (рис. 2.2.3) тиск зменшується на малу величину dp = - ρgdx, де  - густина газу,  = m₀n, m₀ – маса молекули Зручно виразити густину газу через макропараметри - температуру і тиск. Для цього скористаємося формулою p = nkT, тоді , а .

Розділимо змінні величини у останній формулі, тобто . Інтегруючи одержуємо: , де С - постійна інтегрування, яку знаходимо з умови: при x = 0 і С = р₀. тоді

або .

Після потенціювання одержимо барометричну формулу

. (2.2.6)

Враховуючи, що маса молекули може бути виражена через молярну масу і число Авогадро , а , показник експоненти можна записати через молярну масу і універсальну газову сталу:

(2.2.7)

Рис. 2.2.3. Зміна тиску газу в залежності від висоти

Після потенціювання одержимо барометричну формулу

. (2.2.6)

Враховуючи, що маса молекули може бути виражена через молярну масу і число Авогадро , а , показник експоненти можна записати через молярну масу і універсальну газову сталу:

(2.2.7)

Так як при постійній температурі p ~ n, то можна отримати співвідношення для розподілу Больцмана:

або

Чисельник показника експоненти являє собою потенційну енергію частинки, що знаходиться в полі сили тяжіння, а знаменник пропорційний теплової енергії. Розподіл Больцмана справедливий, якщо частинка перебуває в будь-якому потенційному полі, тому можна позначити потенційну енергію частинки через W_п(х). Тоді розподіл Больцмана буде мати вигляд

(2.2.7)

Розподіл Больцмана - це розподіл частинок по потенційним енергіям. Потенційна енергія залежить від вибору початку відліку, і може бути виражена як W_п(x) = W_п+ W_п0(x). Тут W_п0 - потенційна енергія частинок на початку відліку, W_п(x) - потенційна енергія в положенні x, W_п0(x). - зміна потенційної енергії, або інтервал потенційних енергій що розглядається. Число частинок, потенційні енергії яких лежать в малому інтервалі W_п(x) від W_п0 до W_п(x), згідно (2.2.7), дорівнює

(2.2.8)

Частка частинок, потенційні енергії яких лежать в малому інтервалі W_п(x) поблизу W_п(x) визначається співвідношенням

(2.2.9)

Звідси видно, що частка частинок , потенційна енергія яких лежить в заданому W_п із зростанням інтервалу W_п зменшується, а з ростом інтервалу W_п поблизу деякого значення енергії W_п збільшується.

При великому числі частинок n₀ і нескінченно малому інтервалі енергій dW_п частка частинок , потенційна енергія яких лежить в в інтервалі dW_п поблизу потенційної енергії W_п, має сенс ймовірності того, що будь-яка частинка може мати потенційну енергію в зазначеному інтервалі поблизу заданого значення потенційної енергії.