2.2. Елементи класичної статистики
2.2.1. Розподіл молекул ідеального газу за швидкостями. Закон Максвелла
При виведенні основного рівняння МКТ молекулам ставили різні швидкості. У результаті багаторазових зіткнень швидкість кожної молекули змінюється за модулем і напрямком. Однак через хаотичного руху молекул всі напрямки руху є рівноімовірними, тобто в будь-якому напрямку в середньому рухається однакове число молекул.
Згідно молекулярно - кінетичної теорії, як би не змінювалися швидкості молекул при зіткненнях, середня швидкість молекул в газі, що знаходиться в стані рівноваги при T=const залишається постійною.
Це пояснюється тим, що в газі, що знаходиться в стані рівноваги, встановлюється деякий стаціонарний розподіл молекул за швидкостями який не змінюється з часом, і який підпорядковується цілком певному статистичному закону. Цей закон теоретично виведений Максвеллом.
При виведенні закону розподілу молекул за швидкостями Максвелл припускав:
1). газ складається з дуже великого числа тотожних молекул;
2). молекули перебувають у стані хаотичного теплового руху при однаковій температурі;
3). силові поля на газ не діють.
Закон Максвелла описується деякою функцією f(v) яка називається функцією розподілу молекул за швидкостями. Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на малі інтервали, які дорівнюють dv, то на кожен інтервал швидкості припадатиме деяке число молекул dN(v), що мають швидкість, укладену в цьому інтервалі.
Функція f(v) визначає відносне число молекул dN(v)/N, швидкості яких лежать в інтервалі від v до v+dv, тобто dN(v)/N = f(v) звідки
(2.2.1)
Застосовуючи методи теорії ймовірностей, Максвелл знайшов функцію f(v), тобто закон про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями:
(2.2.2)
Рис. 2.2.1. Графік функції f(v)
Конкретний вид функції залежить від роду газу (від маси молекули) і від параметра стану (від температури). Так як при зростанні швидкості v множник
зменшується швидше, ніж зростає множник v2, то функція починаючись від нуля, досягає максимуму при vв і потім асимптотично прагне до нуля. Крива несиметрична відносно vв. Відносне число молекул dN(v)/N, швидкості яких лежать в інтервалі від v до v+dv, знаходиться як площа заштрихованої смужки.
Площа, яка обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці. Це означає, що функція f(v) задовольняє умові нормування:
Швидкість, при якій функція розподілу молекул ідеального газу за швидкостями максимальна, називається найбільш ймовірною швидкістю vв.
Значення найбільш ймовірної швидкості можна знайти, диференціюючи співвідношення (2.2.2) по аргументу v та прирівнявши результат нулю, тобто використовуючи умову для максимуму виразу
Значення v=0 і v =∞ відповідають мінімумам виразу (2.2.2), а значення v, при якому вираз в дужках стає рівним нулю, і є шукана найбільш ймовірна швидкість vйм.
(2.2.3)
З формули (2.2.3) випливає, що при підвищенні температури максимум функції розподілу молекул за швидкостями зміститься вправо (значення найбільш вірогідної швидкості стає більше, рис. 2.2.2). Однак площа, обмежена кривою, залишається незмінною, тому при підвищенні температури крива розподілу молекул за швидкостями буде розтягуватися і знижуватися.
Середня
швидкість молекул
(середня арифметична швидкість)
визначається за формулою
Підставляючи сюди f(v) у вигляді (2.2.2) і інтегруючи, отримаємо
(2.2.4)
Рис. 2.2.2. Зміна виду функції f(v) в залежності від температури
Таким чином, маємо швидкості, що характеризують стан газу:
1) найбільш ймовірна
2) середня
3) середня квадратична
Виходячи з розподілу молекул за швидкостями
(2.2.5)
можна знайти розподіл молекул газу за значеннями кінетичної енергії ε.
Перейдемо
від змінної v
до змінної
Якщо
підставити в (2.2.5)
і
,
то отримаємо:
,
де dN(ε) - число молекул, що мають кінетичну енергію поступального руху, укладену в інтервалі від ε до ε + dε.
Таким чином, функція розподілу молекул по енергіях теплового руху
,
звідки
середня
кінетична енергія
молекул ідеального газу
.