2.1.2. Основне рівняння молекулярно - кінетичної теорії газів

Це рівняння встановлює зв'язок між макроскопічними параметрами (тиском газу в посудині) і мікроскопічним параметром - середньою кінетичною енергією газових молекул. При цьому молекули газу вважаються пружними кульками.

Якщо вважати зіткнення молекул газу зі стінками абсолютно пружним, то тиск на стінки посудини визначиться ударами частинок, які відскакують від стінок без зміни величини швидкості. Внаслідок хаотичності руху частинок, число частинок що вдаряються і їх швидкості будуть різні в окремі моменти часу. З молекулярно - кінетичної точки зору тиск, який чиниться газом на стінки посудини, являє собою середній імпульс сили від ударів молекул газу, що припадає в одиницю часу на одиницю площі стінки.

Виведення рівняння наближений і використовує ряд припущень:

• рух молекул газу відбувається тільки в трьох взаємно перпендикулярних напрямках. Це допущення трохи знижує число молекул, які співударяються зі стінкою;

• у кожному з напрямків рухається 1/3 всіх молекул;

• при кожному ударі молекул газу зі стінкою вони передають стінці імпульс.

При цьому вважається, що рух молекули нормальний до стінки і удар абсолютно пружний. Насправді ж швидкості молекул можуть бути спрямовані і під кутом до стінки посудини. Це припущення, таким чином, завищує результат.

Строгий математичний підхід показує, що ці припущення як би компенсують одне одну, тому результат в наближеному підході виходить правильний.

Подумки виділимо всередині газу об'єм у вигляді куба зі стороною a. Для визначення тиску газу на стінки посудини розглянемо результат ударів об стінку молекул, що рухаються в напрямку осі х (рис. 2.1.2).

Рис. 2.1.2. Об'єм газу у вигляді куба

Спочатку визначимо силу від удару однієї молекули об стінку, скориставшись законами класичної механіки, а потім оцінимо середню силу удару за одиницю часу всіх молекул, що рухаються вздовж осі х.

На основі другого закону Ньютона визначимо імпульс, одержаний стінкою при зіткненні з нею молекули газу. Імпульс сили, що діє на матеріальну точку, дорівнює зміні її кількості руху:

(2.1.6)

Зміна кількості руху точки за 1 секунду чисельно визначає силу, що діє на неї:

. (2.1.7)

При пружному ударі частинки об стінку перпендикулярно до неї, чисельне значення швидкості зберігається, а напрям цієї швидкості змінюється на протилежний, тобто зміна імпульсу частинки визначиться так:

(2.1.8)

При цьому внаслідок третього закону Ньютона стінка отримує при ударі кожної частинки імпульс:

(2.1.9)

Нехай в посудині міститься N молекул, причому зіткнення між ними не враховуються. Якщо за один удар молекула передає стінці імпульс , то сумарний імпульс, одержаний стінкою за 1 секунду, визначиться добутком імпульсу від одного удару на число ударів z в секунду, тобто

(2.1.10)

Підрахуємо величину z. Розглянемо тільки ті молекули, які переносяться в об’ємі у напрямку осі x від лівої грані до правої, і назад. Час між двома ударами з правою гранню:

, (2.1.11)

де - швидкість молекули, а число зіткнень в 1 секунду:

,

тобто . (2.1.12)

Тоді сила удару однієї молекули об стінку за 1 секунду дорівнює:

(2.1.13)

Однак за 1 секунду про праву грань вдаряється всіх молекул, і середня сила удару за 1 секунду всіх N' молекул буде:

. (2.1.14)

Так як молекули володіють різними швидкостями, а число молекул величезна, то можна ввести поняття про середній квадрат швидкості (середньоквадратична швидкість) і середньої кінетичної енергії поступального руху молекули:

. (2.1.15)

Підставивши (2.1.15 ) в (2.1.14 ), отримаємо:

Тоді середній тиск p об стінку буде:

,

де - - число частинок в одиниці об'єму, а <Е_пост> - середня кінетична енергія поступального руху молекул газу.

Таким чином:

(2.1.16)

є основне рівняння молекулярно - кінетичної теорії газів, яке встановлює зв'язок між макроскопічними параметром - тиском і мікроскопічним - середньої кінетичної енергією молекул газу.