1.8.2. Маятники
Пружинний маятник - це тіло, що підвішене на пружині. Період коливань пружинного маятника
,
(1.8.11)
де m - маса тіла; k - жорсткість пружини.
Математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на невагомою нерозтяжної нитки, яка здійснює коливання у вертикальній площині під дією сили тяжіння (у цьому випадку матеріальна точка - тіло, розміри якого малі порівняно з довжиною нитки).
Період коливань математичного маятника
,
(1.8.12)
де l - довжина маятника; g - прискорення вільного падіння.
Рис. 1.8.2. Пружинний і математичний маятники
Фізичний маятник - тверде тіло, що має можливість здійснювати коливання відносно горизонтальної осі, яка не проходить через центр ваги тіла.
Рис.1.8.3. Фізичний маятник
Період коливань фізичного маятника
,
(1.8.13)
де J - момент інерції тіла, що коливається, відносно осі коливань; d - відстань центру мас маятника від осі коливань.
Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці
,
(1.8.14)
де J - момент інерції тіла відносно осі, що збігається з пружною ниткою; k - жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, який виникає при закручуванні нитки, до кута, на який нитка закручується.
1.8.3. Згасаючі коливання
Згасаючими коливаннями називаються коливання, енергія яких зменшується з плином часу.
Рівняння затухаючих коливань
,
(1.8.15)
де А(t) - амплітуда згасаючих коливань в момент часу t; ω - їх циклічна частота.
Циклічна частота згасаючих коливань знаходиться за формулою
,
(1.8.16)
де δ - коефіцієнт загасання ([δ] =1/с2).
Залежність амплітуди згасаючих коливань від часу
,
(1.8.17)
де А0 - амплітуда коливань у момент t = 0.
Рис. 1.8.4. Графік згасаючих коливань
Параметрами згасаючих коливань також являються:
час релаксації
- час, за який амплітуда коливань
зменшується у
разів;
- декремент
загасання
- логарифмічний
декремент загасання
.
Останні два параметри характеризують ступінь зменшення амплітуди за період. Енергетичні втрати коливальної системи характеризуються її добротністю, яка визначається відношенням набутої енергії до середнього значення втраченої за період
1.8.4. Вимушені коливання
Вимушеними
коливаннями
називаються незгасаючі коливання
системи, які викликаються дією на неї
зовнішніх сил
,
що періодично змінюються з плином часу:
Прикладом механічних вимушених коливань є коливання пружинного маятника, рівняння руху якого можна звести до лінійного неоднорідного диференціального рівняння
(1.8.18)
Рішенням рівняння (1.8.18) є вираз
(1.8.19)
де А - амплітуда вимушених коливань
,
(1.8.19)
- фаза
(1.8.20)
Резонанс
Резонанс - явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні циклічної частоти змушуючої сили до значенню резонансної частоти (рис. 1.8.5).
Рис. 1.8.5. Залежність амплітуди від частоти при резонансі
I випадок.
Відсутність загасання (тертя немає,
ідеальний випадок)
.
У цьому випадку резонансна частота
збігається з частотою власних коливань
;
амплітуда коливань необмежено розтає:
.
II випадок. Загасання існує. У цьому випадку резонансна частота визначається за формулою
;
(1.8.21)
резонансна амплітуда
.
(1.8.22)
Чим менше тертя, тим більше амплітуда вимушених коливань при резонансі.