Практическая работа № 1
ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Р - первоначальная сумма, S - наращенная сумма, i - годовая процентная ставка (проценты простые). Так как проценты простые, то в течение всего периода начисления они применяются к первоначальной сумме Р.
Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под i процентов годовых (проценты простые).
Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (первоначальная сумма) + iР (проценты) = Р(1 + i).
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + i) (наращенная сумма после одного года) + iP (проценты) = Р(1 + 2i).
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда наращенная сумма после трех лет S = Р(1 + 2i) (наращенная сумма после двух лет) + iP (проценты) = Р(1 + Si). И т. д.
Если n — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через n лет S = Р(1 + ni).
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, простую годовую процентную ставку i, можно определить период начисления n (в годах): S = Р(1 + ni) => 1 + ni = S/P => ni = S/P-l => n = (S-P) / iP.
Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления n и простой процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму Р:
S = P(l + ni) => P=S/(1+ni).
В формуле S = Р(1 + ni) период начисления n измеряется в годах. Это не всегда удобно, так как период начисления может быть меньше года (например, с 18 марта 2004 года по 20 октября 2004 года). В этом случае полагают n = t/K, где t - период начисления (в днях), К - продолжительность года (в днях). Тогда S = Р(1 + it/К). Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день.
В немецкой практике начисления процентов один полный месяц равен 30 дням, продолжительность года К = 360 дней. Во французской практике период начисления процентов равен фактическому сроку, продолжительность года К = 360 дней. В английской практике период начисления процентов равен фактическому сроку, продолжительность года К = 365 дней (не високосный год) или 366 дней (високосный год).
Задача 1
Первоначальная сумма Р = 5 000 р. помещена в банк на n - 2 года под i – 15 % годовых (проценты простые). Найти наращенную сумму S.
Задача 2
Первоначальная сумма P = 3 000 р., наращенная сумма S = 4500 p., i = 20 % годовых (проценты простые). Определить период начисления процентов n.
Задача 3
Наращенная сумма S – 7 000 р., период начисления n = 0,25 года (один квартал), простая процентная ставка i = 12 % годовых. Нужно определить первоначальную сумму.
Задача 4
Первоначальная сумма Р = 3 000 р. помещена в банк под 12 % годовых (проценты простые) на срок с 18 марта 2012 года по 20 октября 2013 года. Найдем наращенную сумму в каждой из практик начисления процентов.
Задача 5
а) Первоначальная сумма Р р. помещена в банк на срок n лет под i % годовых (проценты простые). Найти наращенную сумму. Уровень инфляции за рассматриваемый период оказался равным α %. Какова реальная доходность операции?
б) Первоначальная сумма Р р., наращенная сумма S р., процентная ставка i % годовых (проценты простые). Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма Р р., наращенная сумма S р., период начисления n лет. Найти простую процентную ставку.
г) Первоначальная сумма Р р. помещена в банк на срок с а по b под i % годовых (проценты простые). Найти наращенную сумму в английской, немецкой и французской практиках.
Исходные данные представлены в табл. 1
Таблица 1
Вариант |
Р |
n |
i |
α |
S |
а |
b |
1 |
6 000 |
0,5 |
16 |
1,4 |
6 300 |
12.03 |
27.08 |
2 |
7 000 |
0,25 |
11 |
1,2 |
7 200 |
03.04 |
15 09 |
3 |
8 000 |
0,75 |
17 |
1,3 |
8 400 |
11.05 |
09.10 |
4 |
9 000 |
0,5 |
18 |
1,4 |
9 300 |
17.06 |
23.11 |
5 |
6 500 |
0,25 |
9 |
1,5 |
6 900 |
24.07 |
05.12 |
6 |
5 500 |
0,75 |
13 |
1,6 |
5 800 |
23.03 |
14.08 |
7 |
7 500 |
0,5 |
19 |
1,7 |
7 700 |
16.04 |
26 09 |
8 |
5 300 |
0,25 |
8 |
1,8 |
5 700 |
19.05 |
21.10 |
9 |
6 400 |
0,75 |
7 |
1,8 |
6 800 |
24.06 |
09.11 |
10 |
7 900 |
0,75 |
14 |
2 |
8 200 |
11.07 |
15.12 |
Практическая работа № 2 сложные ставки ссудных процентов
Р - первоначальная сумма, S - наращенная сумма, i - годовая процентная ставка (проценты сложные), Так как проценты сложные, то в конце каждого интервала начисления процентная ставка применяется к наращенной сумме на начало этого интервала начисления.
Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под i процентов годовых (проценты сложные).
Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (сумма на начало этого интервала начисления) + iP (проценты) = - Р(1 + i).
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + i) (наращенная сумма после одного года) + iP(l + i) (проценты) = Р(1 + i)(1 + i)= Р(1 +i)2.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда наращенная сумма после трех лет S = Р(1 + i)2 (наращенная сумма после двух лет) + iP(l + i)2 (проценты) = Р(1 + i)2(1 + i) = P(l + i)3, и т. д.
Если n — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через n лет S = Р(1 + i)n.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, сложную годовую процентную ставку i, можно определить период начисления n (в годах):
S = Р(1 + i)n => (1 + i)n = S/P => ln(l + i)n =ln(S/P) =>
nln (1+ i) = ln(S/P) => n = ln(S/P) / ln(l + i).
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления n (в годах), можно определить сложную годовую процентную ставку i:
S =
Р(1
+ i)n
=>
(1 + i)n
=
S/P
=>
l + i
=
=>
i
=
-1.
Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления n и сложной процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму Р. Это делается следующим образом:
S = Р(1 + i)n => Р = S/(l + i)n = S(l + i)-n.
Задача 1
Первоначальная сумма Р = 5 000 р. помещена в банк на n = 2 года под i = 15 % годовых (проценты сложные). Найти наращенную сумму после двух лет.
Задача 2
Первоначальная сумма Р = 3 000 р., наращенная сумма S = 4 500 р., i = 20 % годовых (проценты сложные). Найти период начисления.
Задача 3
Первоначальная сумма Р = 2 000 р., наращенная сумма S = 3 500 р., период начисления n = 3 года. Найти сложную процентную ставку.
Задача 4
Наращенная сумма S = 7 000 р., период начисления n = 2 года, сложная процентная ставка i = 12 % годовых. Найти первоначальную сумму.
Задача 5
а) Первоначальная сумма Р р. помещена в банк на срок n лет под i % годовых (проценты сложные). Найти наращенную сумму. Уровень инфляции за рассматриваемый период оказался равным α %. Какова реальная доходность операции?
б) Первоначальная сумма Р р., наращенная сумма S р., процентная ставка i % годовых (проценты сложные). Найти период начисления.
в) Первоначальная сумма Р р., наращенная сумма S р., период начисления n лет. Найти сложную процентную ставку.
Исходные данные представлены в табл. 2
Таблица 2
Вариант |
Р |
n |
i |
α |
S |
1 |
6 000 |
2 |
16 |
1,1 |
7 300 |
2 |
7 000 |
3 |
11 |
1,2 |
8 200 |
3 |
8 000 |
4 |
17 |
1,3 |
9 400 |
4 |
9 000 |
3 |
18 |
1,4 |
10 300 |
5 |
6 500 |
4 |
9 |
1,5 |
7 900 |
6 |
5 500 |
2 |
13 |
1,6 |
6 800 |
7 |
7 500 |
3 |
19 |
1,7 |
8 700 |
8 |
5 300 |
3 |
8 |
1,8 |
6 700 |
9 |
6 400 |
2 |
7 |
1,9 |
7 800 |
10 |
7 900 |
4 |
14 |
2 |
9 200 |