1. Выбор управляемых переменных в задачах оптимизации

Управляемые переменные или влияющие факторы задачи оптимизации должны соответствовать целому ряду требований, основными из которых являются:

- существенность влияния на критерий оптимизации;

- некоррелированность;

- достаточная точность определения и достаточная устойчивость;

Модель должна включать только независимые исходные переменные. Так, например, если в качестве факторов выбраны общая вытяжка и одна из частных вытяжек в двухзонном вытяжном приборе, то выбирать вторую частную вытяжку в качестве третьего фактора нельзя, так как она определяется делением общей вытяжки на первую частную вытяжку, т. е. не является независимой переменной.

Трудоемкость проведения исследований в области текстильных технологий заставляет ограничивать число опытов и тем самым - число факторов. В прядении, например, активные эксперименты проводятся, как правило, в производственных условиях. Поэтому количество опытов, необходимых для получения многофакторных моделей, приходится ограничивать.

Покажем пример такого ограничения. Допустим, необходимо изучить влияние частоты вращения рабочих органов чесальной машины на качество прочеса. Изменение уровней факторов требует работы в течение 2 часов, наработка ленты для проверки ее качества – около 1 часа. Таким образом, в день может быть проведено не более 2-х опытов. Если средняя длительность переработки одной сортировки на данной фабрике составляет 5-6 дней, то при постоянном (или почти постоянном) составе смески можно провести порядка 12 опытов. Практически число опытов в активном эксперименте в производственных условиях не может превышать, например, в хлопкопрядении, 12-16. Следует учитывать и то, что количество опытов может увеличиваться из-за необходимости оценить воспроизводимость результатов, т.е. из-за проведения повторных опытов.

С увеличением числа факторов возрастает и сложность определения оптимальных значений этих факторов, поэтому их число обычно стараются уменьшить. На практике обычно используются следующие способы уменьшения числа факторов:

1. Экспертный опрос. Поскольку данный метод широко используется в текстильной отрасли, он будет изложен ниже в разд. 1.2.

2. Корреляционный анализ по результатам пассивного эксперимента, на основе которого в математическую модель оптимизации включаются факторы, имеющие максимальное число значимых корреляционных связей с остальными, а также факторы, вообще не связанные с другими.

3. Исключение критериев оптимизации зачастую одновременно позволяет уменьшить количество факторов в задачах оптимизации.

4. Проведение эксперимента с факторным планированием для выбора факторов существенно влияющих на критерий оптимизации. Эти методы подробно рассмотрены в учебнике [1] и других источниках.

2. Определение «весомости» показателей или факторов на основе экспертной оценки

Как было отмечено выше, на первом этапе изучения технологических процессов, возникает задача сокращения числа факторов (управляемых переменных) или показателей качества продукции. Это необходимо для того, чтобы объем эксперимента находился в разумных пределах. Поэтому, в ряде случаев сначала рекомендуется провести экспертный опрос.

Методику экспертной оценки мы рассмотрим на примере выбора факторов и сравнительной оценки их влияния на качество чесальной ленты, получаемой на машине ЧМД-4.

Был проведен анкетный опрос 10 специалистов на предмет определения важности факторов (цифра 1 в таблице соответствует наиболее важному фактору). В анкету были включены 12 факторов, предположительно влияющих на качество ленты:

Х₁- разводка в зоне «главный - съемный барабан»;

Х₂- разводка в вытяжном приборе;

Х₃- общая вытяжка на машине;

Х₄- скорость съемного барабана;

Х₅- вытяжка на участке «съемный барабан – валики лентоукладчика»;

Х₆- нагрузка на давильные валы;

Х₇- разводка в зоне «главный барабан - шляпки»;

Х₈- скорости главных барабанов (I-го и II-го);

Х₉- разводка в узле приемного барабана;

Х₁₀- вытяжка в вытяжном приборе;

Х₁₁-нагрузка на валики вытяжного барабана;

Х₁₂- скорости шляпочных полотен (I-го и II-го);

Результаты опроса отражены в табл.1.

После того как эксперты указали место по важности для каждого фактора, обработка данных табл.1 заключается в определении важности рассматриваемых факторов и оценке согласованности мнений экспертов. Для этого, прежде всего по номерам мест рассчитываются ранги факторов так, чтобы сумма рангов равнялась сумме чисел натурального ряда, т.е.

.

Таблица 1.Результаты опроса экспертов

Шифр эксперта	Место i-го фактора
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10	Х10	Х12	Сумма мест
1	2	7	4	3	7	6	1	1	2	5	7	4	49
2	2	4	4	1	5	6	1	1	3	6	7	1	41
3	2	5	2	2	6	3	1	4	3	4	5	2	39
4	1	11	10	9	8	7	1	2	3	6	5	4	67
5	1	10	6	5	9	7	2	3	2	11	8	4	68
6	4	5	4	3	9	8	1	2	6	7	6	5	56
7	4	5	6	4	8	7	1	2	2	5	6	3	53
8	4	5	1	6	7	7	2	2	6	6	7	3	56
9	1	7	3	1	5	8	1	2	2	6	7	4	47
10	2	5	2	3	3	6	1	1	2	4	4	1	34

Сумму рангов можно определить и по формуле:

Для свойств, оказавшихся одинаково важными (связанные ранги), ранги рассчитывают как среднее значение соответствующих мест.

Например, 1-й эксперт поделил 1-е и 2-е места между факторами Х₇ и Х₈ (по одному баллу). Тогда их ранги будут (1+2)/2= 1,5. 3-е и 4-е места у него разделили факторы Х₁ и Х₉ (по 2 балла). Их ранги будут равны (3+4)/2=3,5 и т.д.

После пересчета мест в ранги рассчитывают сумму рангов по каждому фактору (табл. 2). Понятно, что чем меньше эта сумма, тем важнее данный фактор, по мнению всех экспертов.

эксперт	Ранг i-го фактора
1	3.5	11	6.5	5	11	9	1.5	1.5	3.5	8	11	6.5		78.0
2	5	7.5	7.5	2.5	9	10.5	2.5	2.5	6	10.5	12	2.5		78.0
3	3.5	10.5	3.5	3.5	12	6.5	1	8.5	6.5	8.5	10.5	3.5		78.0
4	1.5	12	11	10	9	8	1.5	3	4	7	6	5		78.0
5	1	11	7	6	10	8	2.5	4	2.5	12	9	3		78.0
6	5.5	7.5	5.5	4	12	11	I	2.5	9	10	7.5	2.5		78.0
7	5.5	7.5	9.5	5.5	12	11	I	2.5	2.5	7.5	9.5	4		78.0
8	5	6	1	8	11	11	2.5	2.5	8	8	11	4		78.0
9	2	10.5	6	2	8	12	2	3.5	4.5	9.0	10.5	7		78.0
10	5	11	5	7.5	7.5	12	2	2	5	9.5	9.5	2		78.0
Суммарангов по факто-рам	37.5	94.5	62.5	54.0	101.5	99.0	17.5	33.5	51.5	90.0	96.5	42.0
	-27.5	29.5	-2.5	-11	36.5	34	-47.5	-31.5	-13.5	25	31.5	-23
	756.25	870.25	6.25	121	1332.25	1156	2256.25	992.25	182.25	625	992.25	529

Таблица 2. Расчет рангов

Степень согласованности мнений экспертов оценивается с помощью коэффициента конкордации W:

(1)

где r_iq - ранг каждого i-го фактора у q-го исследователя;

k - число исследователей;

n - число факторов;

T - средняя сумма рангов; Т = 780/12 = 65.

Разность между суммой рангов по каждому фактору и средней суммой рангов определяется по формуле

; (2)

- сумма квадратов отклонений (в табл. 2 эта сумма - сумма последней строки, равная 9819).

Показатели связанных (равных) рангов для каждого эксперта рассчитывают по формуле

,

где - число одинаковых рангов в q-ом ранжировании.

Например, у второго эксперта 4 раза встречается ранг 2,5 и по два раза ранги 7,5 и 10,5:

.

У первого эксперта по два раза встречаются ранги 1,5; 3,5; 6,5; ранг 11 встречается трижды, тогда Т₁ = 42.

В результате получаем

Если W значительно отличается от 0, то можно считать: между мнениями специалистов имеется существенная связь. Значимость коэффициента конкордации определяется по критерию .

.

=77,31.

Для уровня доверительной вероятности 0,95 при числе степеней свободы f = n – 1 = 12 – 1 = 11 величина табличного критерия равна =19.75. Так как (77.31>19.75), то значение W = 0,703 является значимым и мнения экспертов можно считать согласованными.

На рис. 1 дана диаграмма ранжирования факторов, построенная по данным табл. 2.

Данная ранговая диаграмма позволяет разбить факторы по их значимости на три группы.

В первую группу входит фактор Х₇ - разводка в зоне «главный барабан - шляпки»; во вторую – 6 факторов: скорости главных барабанов, разводки в зоне предварительного прочесывания, нагрузки на вытяжные валики, скорости шляпочных полотен и съемного барабана; вытяжка в вытяжном приборе. Остальные факторы составляют третью группу («важность» этих факторов примерно одинакова).

Рис.1. Диаграмма ранжирования факторов

Если точность изготовления рабочих органов, гарнитуры и жесткость остова позволяют, то скорость и нагрузки должны быть как можно большими, а – разводки (в том числе Х₇ ) по возможности минимальными. Поскольку влияние Х₇ на качество продукта понятно, то фактор Х₇ не был включен в модель оптимизации. По этой же причины в модель не включены факторы Х₈, Х₁, Х₉, Х₃. В модель вошли два фактора из второй группы (Х₁₂ , Х₄) и один фактор (Х₁₀ ), как представитель третьей группы (на выбор фактора Х₁₀ повлияло и то важное обстоятельство, что он влияет на производительность машины).