64. Что называется «собственной длиной». Получите выражение собственной длины для движущегося стержня как следствие из преобразований Лоренца.

Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K', движущейся со скоростью v относительно системы отсчета K (рис. 6). Стержень ориентирован параллельно оси x'. Его длина, измеренная с помощью эталонной линейки в системе K', равна l₀. Ее называют собственной длиной. Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K? Для ответа на этот вопрос необходимо дать определения процедуры измерения длины движущегося стержня.

Под длиной l стержня в системе K, относительно которой стержень движется, понимают расстояние между координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по часам этой системы. Если известна скорость системы K' относительно K, то измерение длины движущегося стержня можно свести к измерению времени: длина lдвижущегося со скоростью v стержня равна произведению vτ₀, где τ₀ – интервал времени по часам в системе K между прохождением начала стержня и его конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например, точки A) в системе K (рис. 6). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то промежуток времени τ₀ в системе K является собственным временем. Итак, длина l движущегося стержня равна l = vτ₀.

Рис. 6. Измерение длины движущегося стержня.

Найдем теперь связь между l и l₀. С точки зрения наблюдателя в системе K', точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня налево со скоростьюv, поэтому можно записать l₀ = vτ, где τ есть промежуток времени между моментами прохождения точки A мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам вK'. Используя связь между промежутками времени τ и τ₀ ,  , найдем

Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она измеряется, т. е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения длины.

Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении его движения. Если стержень на рис. 6 расположить перпендикулярно оси x, вдоль которой движется система K', то длина стержня оказывается одинаковой для наблюдателей в обеих системах K и K'. Это утверждение находится в соответствии с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. .

Для доказательства можно рассмотреть следующий мысленный эксперимент. Расположим в системах K и K' вдоль осей y и y' два жестких стержня. Стержни имеют одинаковые собственные длины l, измеренные неподвижными по отношению к каждому из стержней наблюдателями в K и K', и один из концов каждого стержня совпадает с началом координат 0 или 0'. В некоторый момент стержни оказываются рядом и представляется возможность сравнить их непосредственно: конец каждого стержня может сделать метку на другом стержне. Если бы эти метки не совпали с концами стержней, то один из них оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности.

Неизменность длины движущегося стержня, ориентированного перпендикулярно направлению движения, была использована в п. 2 при анализе релятивистского замедления времени.

Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (v << c) формулы СТО переходят в классические соотношения: l = l₀ и τ = τ₀. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при β = v/c → 0. В этом проявляется принцип соответствия (см. п. 1).

65. Что называется интервалом между событиями в сто?

В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием события. Событие определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло.

Таким образом, событие, происходящее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие.

Часто полезно из соображений наглядности пользоваться воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладываются три пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изображается точкой. Эти точки называются мировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия) в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.

Выразим теперь принцип инвариантности скорости света математически. Для этого рассмотрим две системы отсчета К и К, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Координатные оси выберем при этом таким образом, чтобы оси х и к совпадали, а оси у и z были параллельны осям у и   время в системах К и К обозначим через t и  .

Пусть первое событие состоит в том, что отравляется сигнал, распространяющийся со скоростью света, из точки, имеющей координаты   в системе К в момент времени   в этой же системе. Будем наблюдать из системы К распространение этого сигнала. Пусть второе событие состоит в том, что сигнал приходит в точку   в момент времени   Сигнал распространяется со скоростью с; пройденное им расстояние равно поэтому  . С другой стороны, это же расстояние равно   Таким образом, мы можем написать следующую зависимость между координатами обоих событий в системе 

Те же два события, т. е. распространение сигнала, можно наблюдать из системы К. Пусть координаты первого события в системе   а второго:   Поскольку скорость света в системах К и К одинакова, то, аналогично (2,1), имеем:

Если   — координаты каких-либо двух событий, то величина

называется интервалом между этими двумя событиями.

66. Какие интервалы называются времени-, свето-, пространственноподобными?

• Если  , то интервал называется времениподобным. Времениподобный интервал между событиями означает, что существует такая система отсчёта, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Что ещё более важно, времениподобный интервал между событиями означает, что они могут быть причинно связаны. Легко убедиться, что для причинно связанных событий  , так как любое взаимодействие распространяется со скоростью не большей C, причём   соответствует событиям, связанным сигналом, распространяющимся со скоростью света. Этот сигнал не обязан быть именно световым, это может быть гравитационная волна, вообще любая безмассовая частица или даже ещё не открытое взаимодействие. Существенно лишь, что существует максимальная скорость распространения взаимодействия, одинаковая для всех систем отсчёта и равная, как следует из уравнений Максвелла, скорости света.

• Если  , то интервал называется пространственноподобным, и значит можно выбрать такую инерциальную систему отсчёта, в которой оба события произошли в одно и то же время. События, интервал между которыми пространственноподобен, как указано выше, не могут быть причинно связанными, так как даже распространяющийся по прямой сигнал должен бы был для этого двигаться быстрее скорости света.

• Если же  , то интервал называется светоподобным (иногда изотропным или нулевым). Направления в пространстве Минковского, вдоль которых интервал равен 0, называются изотропными. Также изотропными называются многообразия, для которых форма   тождественно равна 0. Свет распространяется всегда вдоль изотропных направлений.

Замечание. Поскольку инвариантен сам интервал, то, очевидно, знак его квадрата тоже оказывается инвариантным. Поэтому классификация интервалов по этому признаку, приводимая здесь, не зависит от системы отсчёта.