Тема 1.5. Формулы Крамера.

Если число строк совпадает с числом столбцов, т.е. m=n, то матрица А- квадратная и ее определитель - главный определитель системы. Когда главный определитель не равен  0 решение системы единственно и находится по формулам Крамера.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель системы не равен 0, и это решение находится по формуле Крамера:

где определители D  называются определителями неизвестных х_j и получаются из главного определителя путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

 

Уровень 2. Для доказательства рассмотрим систему (1.7). Пусть определитель не равен  0. Умножим первое уравнение на алгебраическое дополнение А₁₁, второе уравнение на А₂₁, третье уравнение на А₃₁. Сложим все три уравнения и сгруппируем коэффициенты при одинаковых х. Получим

(А₁₁а₁₁ + А₂₁а₂₁ + А₃₁а₃₁)х₁ + (А₁₁а₁₂ + А₂₁а₂₂ + А₃₁а₃₂)х₂ + (А₁₁а₁₃ + А₂₁а₂₃+ А₃₁а₃₃)х₃ = =А₁₁b₁ + A₂₁b₂ +A₃₁b₃.

 

Тема 1.6. Матрицы и действия над ними.

Рассмотрим матрицу вида:

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = ( a_ij ); i = 1, 2, 3, .... , m ; j = 1, 2, 3, ....., n .

О. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны 0.

О. Две матрицы одинаковой размерности mxn называются равными, если на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., m ; j=1, 2, ..., n .

Пусть A = (a_ij) – некоторая матрица и g–произвольное число,тогда g A = (g a_ij), то есть при умножении матрицы A на число g все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число g.

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a_ij), B = (b_ij), тогда их сумма A + B – матрица C = (c_ij) той же размерности, опреде­ляемая из формулы c_ij = a_ij + b_ij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой

Элемент c_ij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i -строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы - сомножителя.

Таким образом, формула (1.16) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Пусть имеются две квадратные матрицы А и В одинаковой размерности.

Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

AX = В.

О. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A^–1, для которой справедливы равенства:

AA ^–1 = A ^–1 A = E (1.17)

Очевидно, что A^–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Матрица А имеет обратную матрицу, если detA не равно 0.

Обратная матрица имеет вид: