Глава 1. Линейная алгебра
I. Методические указания и примеры
§1. Определители
Определение 1.1. Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка
. (1.1)
Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А (или определителем матрицы А) называется число
которое обозначается одним из следующих символов:
Элементы
матрицы А
из (1.1) называются также элементами
.
Элементы
образуют главную диагональ этого
определителя, а элементы
его побочную диагональ.
П
равило
Саррюса.
Определитель 3-го порядка равен сумме
произве-дений его элементов, находящихся
на главной диагонали и в вершинах
равнобедренных треугольников, основания
которых параллельны главной диагонали,
минус сумма произведений элементов,
находящихся на побочной диагонали и в
вершинах равнобедренных треугольников,
основания которых параллельны побочной
диагонали (рис.1а, б).
Пример
1.1. Найти
определитель матрицы А
=
.
► Вычислим определитель по правилу Саррюса.
.◄
Понятие
определителя п-го
порядка вводится индуктивно. Предположим,
что введено понятие определителя для
квадратной матрицы k-го
порядка,
,
как функции, ставящей в соответствие
этой матрице некоторое вещественное
число. Рассмотрим квадратную матрицу
п-го
порядка
. (1.2)
Если
из матрицы А
удалить элементы i-й
строки и j-го
столбца,
,
то получим квадратную матрицу
го
порядка, существование определителя у
которой предположено выше. Назовем этот
определитель минором
(дополнительным минором) элемента
матрицы А,
находящегося на пересечении i-й
строки и j-го
столбца. Минор элемента
будем обозначать
.
Алгебраическим дополнением элемента
назовем число
.
Определение
1.2.
Определителем п-го
порядка, соответствующим матрице А
из (1.2), называется число, равное
и
обозначаемое одним из символов:
.
Свойства определителя п-го порядка
1.
Если матрица А
из (1.2) содержит две одинаковых строки
(или столбца), то
.
2.
Если элементы какой-либо строки (или
столбца) матрицы А
являются суммами двух слагаемых, то
,
где
3. Общий множитель элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы А можно выносить за знак определителя.
4.
,
где А
– матрица из (1.2), а
матрица, полученная из А
заменой строк на столбцы, то есть
.
Замечание
2.1.
Замена строк столбцами называется
операцией транспонирования
матрицы, а сама матрица
называется транспонированной
по отношению к матрице А.
5.
Определитель
единичной матрицы
равен 1.
6.
При перестановке двух любых строк (или
столбцов) в матрице А
из (1.2) для полученной матрицы
справедливо равенство
.
7. Определитель матрицы А не меняется, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Теорема 1.1 (о разложении определителя п-го порядка по элементам какой-либо строки или столбца). Определитель матрицы А из (1.2) равен сумме произведений элементов его любого столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Замечание 1.2. Определители n-го порядка можно вычислять, например, с помощью теоремы 1.1, сводя их к определителям более низкого порядка, или при помощи свойств определителя. При этом с помощью элементарных преобразований (см. свойства 3, 6, 7) определитель приводят к верхнему треугольному виду:
, (1.3)
из
теоремы 1.1 следует, что
,
то есть определитель из (1.3) равен
произведению элементов, стоящих на его
главной диагонали.
Пример
1.2. Вычислить
определитель
.
►Способ 1. Вычислим определитель Δ, используя разложение по третьей строке:
Получающиеся при разложении определители третьего порядка можно вычислить, например, по правилу Саррюса.
Способ 2. Вычислим определитель Δ, приведя его к верхней треугольной форме, используя свойства определителя. Для этого выполним следующие преобразования:
Из второй, третьей и четвертой строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3, 1, 2:
.
Переставим вторую и четвертую строки, при этом определитель по-меняет знак:
.
К третьей строке полученного определителя прибавим вторую, а из последней строки вычтем вторую, умноженную на 3:
.
К третьему столбцу прибавим последний, умноженный на 3:
.
Переставим две последние строки:
.
Из последней строки вычтем третью, умноженную на 26:
.
Полученный в результате определитель является определителем от верхней треугольной матрицы, он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
◄