2 Матрицы: основные понятия и определения, простейшие операции
Определение 1. Таблица чисел (действительных или комплексных) вида:
(1)
называется
матрицей
порядка
.
Здесь
- число строк,
- число столбцов матрицы. Числа
,
называются элементами
матрицы;
индекс
указывает номер строки, а индекс
указывает номер столбца, где расположен
элемент.
Матрицы, как правило, обозначают заглавными буквами латинского или иного алфавита: A, B, C, ….; а элементы матриц соответствующими малыми буквами. В частности, матрица в определении (1) может быть обозначена буквой A:
.
(2)
Однако, вместо (2) для записи матриц чаще используют более короткий вариант записи:
,
(3)
или
.
(4)
Из (4) следует, что в определении 1, круглые скобки могут быть заменены на две вертикальные черты слева и справа. В нашем курсе мы ограничимся использованием круглых скобок.
Определение 2. Матрицы, все элементы которых равны нулю, называют нулевыми матрицами.
По размеру матрицы
разбиваются на две группы: прямоугольные,
если
,
и квадратные,
если
.
Квадратные матрицы, как правило,
обозначают так:
.
(5)
Среди прямоугольных матриц выделяют следующие частные случаи.
а) Матрица-строка
(
):
,
(6)
б) Матрица-столбец
(
):
.
(7)
Определение
3. Матрицы
и
называются равными,
если
,
.
(8)
Т.е. равными могут быть матрицы А и В одинакового размера, у которых совпадают элементы, стоящие на одинаковых (соответствующих) местах.
Обозначение:
.
Определение
4. Суммой
матриц
и
называется матрица
,
такая что
,
.
(9)
Очевидно, что складывать можно только матрицы одинакового размера. Для определения суммы матриц достаточно найти суммы элементов, стоящих на одинаковых (соответствующих) местах.
Обозначение:
.
Пример 1.
,
.
Определение
5. Разностью
матриц
и
называется матрица
,
такая что
.
Обозначение:
Заметим, что в отличие от суммы матриц определение разности не содержит правила для его определения, следовательно, правило нужно еще получить.
Теорема 1. Если , , то элементы матрицы , такой что , определяются по правилу:
,
.
(10)
Доказательство. Согласно определению 5, , следовательно, на основании определения 4:
,
.
(11)
Выражая из (11)
,
получаем требуемый результат:
, .
Теорема доказана.
Таким образом, разность можно определить только для матриц одинакового размера, для чего необходимо найти разности элементов, стоящих на одинаковых (соответствующих) местах.
Пример 2.
,
.
Определение 6. Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица , такая что
,
.
(12)
Обозначение:
.
Очевидно, что на число можно умножать матрицы любого размера. Для этого достаточно каждый элемент матрицы умножить на соответствующее число.