Перепишем это уравнение в виде

, (6.22)

где c_w  коэффициент консолидации;

(6.23)

Уравнение (6.22) и есть уравнение фильтрационной консолидации грунтов для плоской задачи. Его решение с учетом начального порового давления (при t = 0) и граничных условий задачи позволяет определить поровое давление и как функцию координат и времени. Тотальные напряжения находятся из решения соответствующей задачи без учета консолидации, их эффективные части определяются с учетом равенства (6.1), а соответствующие им деформации — равенствами (6.17) или (6.18). В конечном счете, с помощью зависимостей Коши (3.17) могут быть вычислены перемещения точек массива и, в частности, осадки поверхности основания. Очевидно, перемещения и осадки будут не только функциями координат, но и времени даже в тех случаях, когда приложенные к основанию внешние нагрузки остаются постоянными. Ясно также, что перемещения и осадки будут нарастать в процессе консолидации с затухающей скоростью и стремиться к своим конечным значениям при t → ∞

6.4. Задачи о сосредоточенной силе и водопроницаемых полосовых нагрузках

Аналитическое решение плоской задачи фильтрационной консолидации, т.е. решение уравнения (6.22) с учетом начальных (t = 0) и граничных (z = 0) условий, представляет большие трудности. Необходимый для этого математический аппарат выходит за рамки курса высшей математики, который изучается в строительных вузах. Поэтому здесь приведем решения плоских задач без вывода. Фундаментальное значение имеет задача определения порового давления в водонасыщенном однородном основании, к поверхности которого в момент времени t = 0 приложена равномерная сосредоточенная сила Р, остающаяся далее постоянной. Граничные условия этой задачи совпадают с задачей Фламана. Следовательно, согласно п. 6.2, начальное распределение порового давления должно быть равно распределению среднего напряжения в задаче Фламана для консолидирующегося основания. Поскольку в задаче Фламана = 0, то в соответствии с формулами (6.21) в момент t = 0 имеем

(6.24)

где

Решение поставленной задачи для любого момента времени имеет вид:

(6.25)

При λ = 1, что соответствует v = 0,5, решение было получено В.Т. Короткиным в 1951 г. Введенный коэффициент λ < 1 уточняет решение В.Г. Короткина и улучшает соответствие теории экспериментам.

Для того, чтобы наглядно охарактеризовать распределение порового давления в основании в соответствии с решением В.Г. Короткина (5.34) при λ = 1, на рис. 6.6 в правой половине основания представлены эпюры изменения u от силы Р, численно равной числу π. Эпюры построены в двух горизонтальных и одном вертикальном сечениях на моменты времени t, определенные равенствами  0; 1 и 4 м2. Как видно, в горизонтальных сечениях u имеет максимальное значение в точках оси и асимптотически стремится к нулю при |x| → ∞.

Рисунок 6.6.  Распределение порового давления в плоской задаче о погонной

нагрузки на основание

В вертикальном сечении при t > 0 поровое давление равно нулю на поверхности основания, затем нарастает до некоторого максимального значения, а далее асимптотически убывает до нуля при z → ∞.

Переходя к полосовым нагрузкам, отметим, что при определении порового давления в процессе фильтрационной консолидации основания важную роль играют граничные условия поверхности основания по водопроницаемости. В этом смысле полосовые нагрузки можно подразделить на водопроницаемые и водонепроницаемые. В первом случае водопроницаемость поверхности основания принимается везде одинаковой, в том числе и в пределах полосы загружения. Во втором случае водопроницаемость поверхности основания сохраняется только за пределами полосы загружения.

Решение консолидационной задачи от полосовой водопроницаемой нагрузки может быть получено с помощью решения В.Г. Короткина. Для этого поступим аналогично тому, как в разд. 4 с помощью формулы Фламана определялось напряженное состояние основания от полосовых нагрузок, но ради краткости ограничимся случаем равномерного давления p₀. Итак, предположим, что в момент времени t = 0 к поверхности основания приложено равномерное полосовое давление интенсивностью p₀, которое в дальнейшем остается постоянным. На расстоянии ξ в этой полосе выделим элементарную полосу шириной dξ. Действие сплошной нагрузки в пределах полосы заменим сосредоточенной силой dP = p₀dξ. Расстояние от этой силы до произвольной точки М в основании определяется координатой z и разностью х  ξ. Используя формулу (6.25), определим бесконечно малую величину порового давления от силы dР в точке М:

Полную величину порового давления, очевидно, получим интегрированием этого выражения по ширине полосы загружения:

(6.26)

Этот интеграл не выражается в аналитическом виде. Но при необходимости его можно вычислить приближенно, заменив интегрирование суммированием. На рис. 6.7 показаны линии равных значений порового давления в долях от приложенного давления, определенные численным методом. Заметим, что ось х в этой и в других задачах с водопроницаемыми полосовыми нагрузками является линией нулевых значений порового давления в любой момент времени.

Рисунок 6.7.  Линии равных значений порового давления под водопроницаемой

полосовой нагрузкой

Очевидно, что с помощью формулы (6.25) и численного метода интегрирования можно определять поровое давление от водопроницаемых полосовых нагрузок при любом сколь угодно сложном законе давления. Этим же методом можно решать задачи и в тех случаях, когда полосовая нагрузка растет во времени по заданному закону. На рис. 6.8 показаны линии равных поровых давлений в основании под водонепроницаемой полосовой нагрузкой в некоторый момент времени, получение которых рассмотрено подробней в п. 7.2.

Рисунок 6.8.  Линии равных поровых давлений в основании под водонепроницаемой

полосовой нагрузкой

6.5. Расчет осадки в процессе фильтрационной консолидации с использованием метода послойного суммирования

Согласно нормам проектирования оснований и фундаментов осадку фундамента считают равной вертикальному перемещению центра его подошвы, т.е. вертикальному перемещению начала координат на рис. 6.9.

Рисунок 6.9.  К расчету осадок в процессе фильтрационной консолидации

При этом расчет осадки выполняют методом послойного суммирования. Поскольку суммирование практически не может быть неограниченным, то осадку подсчитывают до глубины Н_c, которую называют глубиной сжимаемой толщи основания. Предполагается, что вследствие быстрого затухания напряжений в основании по мере удаления от места приложения давления осадка остальной толщи основания мала и ею можно пренебречь. Глубину сжимаемой толщи определяют из условия , где символом обозначено напряжение в природном напряженном состоянии основания. Определение величины Н_c проще всего выполнять графоаналитическим методом, как показано на рис. 6.9.

Поскольку ось Oz является линией симметрии задачи, то в ее точках σ_z = σ_1, σ_x=σ₃, τ_zx = 0. Следовательно, согласно формулам (4.) в точках оси Oz

(6.27)

Значения угла видимости β и его синуса в точках оси z выражается формулами

(6.28)

С учетом этого формулы (6.8) принимают вид:

(6.29)

Линейные относительные деформации ε_z на оси Oz в процессе фильтрационной консолидации определяются вторым из выражений закона Гука. Подставляя в него зависимости (6.16) получим:

(6.30)

Если на оси z выделить элементарный отрезок dz, то абсолютная линейная деформация определяется равенством . Следовательно, осадка точки О в соответствии с принятым допущением определяется интегралом

(6.31)

Разделим сжимаемую толщу на n отрезков размером . В точках деления имеем координату где i = 0,1,..., n.

Обозначим:

(6.32)

где u_i — поровое давление в точках деления оси z в момент t.

Согласно (6.26) в точках деления оси z:

(6.33)

И здесь интегрирование заменим суммированием. Для этого разобьем ширину полосы загружения на полоски шириной . В точках деления , где j = 0,1, …,m.

Обозначим:

(6.34)

В результате согласно формуле трапеций вместо (6.12) имеем:

(6.35)

В конечном счете интеграл (6.31) также будем вычислять по формуле трапеций:

(6.36)

Приведенные формулы позволяют определить протекание осадки основания во времени. Характер зависимости s_i, показан на рис. 6.10. При t > ∞ и u → ∞ и осадка стремится к ее предельному значению s. Указанные расчеты целесообразно выполнять с помощью ЭВМ.

Рисунок 6.10.  Зависимость осадки консолидирующегося грунта от времени

Для произвольных граничных и начальных условий задачи теории фильтрационной консолидации решаются численными методами: методом конечных разностей или методом конечных элементов.