Задачи по модулю

1. Прямую АВ поставить в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. (рис. 52, а, б)

2. Прямую АВ поставить в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. (рис. 52, а, б)

3. Прямую АВ поставить в положение, перпендикулярное к горизонтальной плоскости проекций. (рис. 52, в, г)

а) б)

в) г)

Рисунок 52

4*. Треугольник АВС поставить в такое положение, чтобы его горизонтальная проекция сливалась в прямую линию (рис. 53).

Рисунок 53

5*. Построить окружность, описанную около треугольника АВС, лежащего в плоскости Р (рис. 54).

Рисунок 54

6**. Пересечь прямые АВ и CD прямой МN, перпендикулярной к прямой АВ, так, чтобы отрезок прямой МN между заданными прямыми имел длину, равную 20 мм. (рис. 55)

Рисунок 55

Модуль 5. Многогранники Вопросы для самопроверки

1) Что называется многогранником?

2) Какой многогранник называется правильным?

3) Назовите виды многогранников.

4) Какой многогранник называется призмой?

5) Какой многогранник называется пирамидой?

6) Способы построения фигуры сечения многогранника плоскостью.

7) Каков порядок построения линии взаимного пересечения многогранников?

Примеры решения задач

Пример 38

Найти линию пересечения поверхности призмы с плоскостью Р (рис. 56).

Рисунок 56

Решение. Для того, чтобы построить линию пересечения, нужно найти точки пересечения ребер призмы с данной плоскостью.

Находим точку (А₁, А₂) пересечения ребра (1₁, 1₂) с плоскостью Р. Горизонтальная проекция (А₁) этой точки совпадает с горизонтальной проекцией ребра; зная это, находим фронтальную проекцию (А₂) точки, пользуясь условием, что точка (А₁, А₂) лежит и на плоскости Р, используя фронталь плоскости, проходящую через точку А (см. построение рис. 56).

Аналогичным порядком находим точки (В₁, В₂), (С₁,С₂) и (D₁, D₂) пересечений остальных ребер с плоскостью Р.

Соединив последовательно найденные точки, получаем проекции искомой линии пересечения: горизонтальную (А₁В₁С₁D₁) и фронтальную (А₂В₂С₂D₂). Из чертежа видно, что горизонтальная проекция (А₁В₁С₁D₁) линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией (1₁2₁3₁4₁) призмы.

Пример 39

Найти линию пересечения поверхности призмы с плоскостью Р (рис. 57).

Рисунок 57

Решение. Нужно найти точки пересечения ребер призмы с плоскостью Р. Находим точку ( А₁ , А₂) пересечения ребра (1₁,1₂) с плоскостью: заключаем ребро в плоскость R, параллельную фронтальной плоскости проекций, которая пересекает плоскость Р по фронтали. На пересечении фронтальных проекций ребра и фронтали получаем фронтальную проекцию (А₂) точки; зная ее, находим горизонтальную проекцию (А₁) точки па горизонтальной проекции ребра. Аналогичным образом находим точки (B₁, B₂), (C₁, C₂) и (D₁, D₂) пересечений остальных ребер с плоскостью.

Соединив последовательно найденные точки, получаем проекции искомой линии: горизонтальную (А₁В₁С₁D₁) и фронтальную (А₁В₁С₁D₁).

Пример 40

Найти линию пересечения поверхности пирамиды с плоскостью Р (рис. 58).

Рисунок 58

Решение. Находим точки пересечений боковых ребер пирамиды с профильно-проецирующей плоскостью. Строим профильную проекцию пирамиды и профильный след (Р₃) плоскости. На пересечении профильных проекций ребер пирамиды со следом Р₃ получаем профильные проекции точек пересечений ребер с плоскостью; зная их, находим горизонтальные и фронтальные проекции этих точек.

Соединив последовательно найденные точки, получаем проекции искомой линии пересечения: горизонтальную (А₁В₁С₁D₁) и фронтальную (А₂В₂С₂D₂). Решение задачи без профильной плоскости проекции усложнило бы построение (почему?).

Пример 41

Дать полную развертку поверхности четырехугольной призмы (рис. 59).

Решение. Полная поверхность заданной призмы состоит из четырех прямоугольников и двух четырехугольников.

Проводим произвольную прямую NN и на ней от точки А откладываем отрезки АВ, ВС, CD, DA, равные сторонам основания призмы, т. е. АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁ и т. д. Через точки А, В, С, D, А проводим перпендикуляры к прямой NN и на них откладываем одинаковые (почему?) отрезки длиной h соединив концы перпендикуляров, получаем прямую А'B'C'D'A', параллельную прямой ABCDA. Затем пристраиваем, например, при стороне AD, нижнее основание призмы, а при стороне — верхнее ее основание.

Пример 42

Найти точки пересечения поверхности призмы с прямой АВ (рис. 60).

Решение. Заключаем прямую АВ в фронтально- или горизонтально-проецирующую плоскость R, которая пересекает поверхность призмы по четырехугольнику.

а)

б)

Рисунок 59

Рисунок 60

На пересечении горизонтальных проекции полученного четырехугольника и заданной прямой находим горизонтальные проекции (M₁) и (N₁) искомых точек; зная их, находим фронтальные проекции (M₂) и (N₂) точек на прямой A₂B₂. В данном случае искомые точки можно найти и не вводя плоскость R (почему?).

Пример 43

Найти точки пересечения поверхности пирамиды с прямой АВ (рис. 61).

Решение. Заключаем прямую АВ в горизонтально-проецирующую плоскость R, которая пересекает поверхность пирамиды по четырехугольнику. На пересечении фронтальных проекций полученного четырехугольника и заданной прямой находим фронтальные проекции (M₂) и (N₂) искомых точек; зная их, находим горизонтальные проекции (M₁) и (N₁) точек на прямой A₁B₁.

Рисунок 61