Модуль 2. Проецирование прямой Вопросы для самопроверки

1) Как задать на эпюре прямую линию?

2) Как определяется расстояние от точки до плоскостей проекций П1, П2, П3?

3) Может ли проекция прямой линии представлять собой точку?

Перечислите прямые частного положения?

4) Какими методами на эпюре определяется натуральная величина и углы наклона отрезка прямой общего положения к плоскостям проекций?

5) Что называется следом прямой линии?

6) Как на эпюре расположены проекции пересекающихся прямых?

7) Каким способом на эпюре определяют натуральную величину отрезка прямой общего положения и углы наклона его к плоскостям проекций?

Примеры решения задач

Пример 4

Найти на прямой АВ точку С, зная отношение ее координат: (рис. 8 ).

Рисунок 8

Решение. Координаты z и у определяют профильную проекцию (C₃ ) точки С. Геометрическое место точек плоскости в системе ZOY с отношением координат есть прямая линия, уравнение которой у = 2z. Профильная проекция (C₃) у точки С должна лежать на профильной проекции (A₃B₃) заданной прямой АВ и на прямой у = 2z, т. е. на их пересечении. Следовательно, по заданным проекциям прямой АВ находим ее профильную проекцию (A₃B₃), проводим в системе ZOY прямую у = 2z и на их пересечении получаем профильную проекцию (C₃) точки С.

Затем уже по C₃ находим горизонтальную и вертикальную проекции искомой точки на одноименных проекциях прямой АВ.

Пример 5

Параллельные прямые АВ и CD пересечь произвольной прямой (рис.9).

Рисунок 9

Решение. Берем на каждой из заданных прямых АВ и CD по произвольной точке. Прямая, проведенная через эти две точки, будет искомой. Отсюда — задаем произвольную точку (M₁, M₂) на прямой АВ и точку (N₁,N₂) на прямой CD. Затем проводим горизонтальную проекцию искомой прямой через точки M₁ и N₁ и фронтальную проекцию M₂ и N₂.

Эту задачу можно решить несколько иначе. Пересекаем вертикальные проекции произвольной прямой и отмечаем точки пересечения M₂ и N₂. По точке M₂ находим M₁ на горизонтальной проекции прямой АВ и по точке N₂ находим N₁ на горизон­тальной проекции прямой CD. Проводим через полученные точки M₁ и N₁ горизон­тальную проекцию искомой прямой. Можно было бы начать решение задачи также с проведения произвольно горизонтальной проекции искомой прямой, а затем поступить так же, как и выше.

Пример 6

Прямые АВ и CD пересечь прямой, параллельной горизонтальной плоскости проекций (рис. 10).

Решение. Искомая прямая должна быть параллельна горизонтальной плоскости проекций, а следовательно, ее фронтальная проекция должна быть параллельна оси ОХ. Отсюда — проводим произвольно фронтальную проекцию искомой прямой параллельно оси проекций; точки пересечения с прямыми A₂B₂ и C₂D₂ обозначаем через K₂ и M₂. По точкам K₂ и M₂ находим на прямых A₁B₁ и C₁D₁ точки K₁ и M₁. Проводим через точки K₁ и M₁ горизонтальную проекцию (K₁ M₁) искомой прямой.

Рисунок 10

Пример 7

Построить проекции прямой зная ее следы (рис. 11).

Решение. Искомая прямая проходит через следы – точки N₀ и M₀. Следовательно, проекции прямой должны пройти через одноименные проекции этих точек. Находим проекции (N₁, N₂) и (M₁, M₂) этих точек и проводим горизонтальную проекцию прямой через точки N₁ и M₁, фронтальную проекцию прямой – через точки N₂ и M₂.

Пример 8

Найти следы прямой АВ и отделить видимую ее часть от невидимой (рис. 12)

Решение. Продолжаем горизонтальную проекцию (А₁В₁) прямой до пересечения с осью х в точке N₁. В этой точке восставляем перпендикуляр к оси проекций до пересечения с фронтальной проекцией прямой (А₂В₂) в точке N₂. Получаем фронтальный след прямой.

Рисунок 11

Рисунок 12

Затем продолжаем фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью проекций х в точке М₂. В этой точке восставляем перпендикуляр к оси проекций до пересечения с горизонтальной проекцией прямой в точке M₁. Получаем горизонтальный след прямой.

Прямая проходит через первую, вторую и третью четверти пространства.

Пример 9

Определить действительную длину отрезка АВ (рис. 13).

Рисунок 13

Решение. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам. За один катет принимаем горизонтальную проекцию (A₁B₁) отрезка, а за другой катет - отрезок, длина которого равна |z + z₁|. Гипотенуза этого прямоугольного треугольника дает нам действительную длину отрезка.

Тот же результат получаем, построив прямоугольный треугольник, одним катетом которого является фронтальной проекция (А₂В₂) отрезка, а другим катетом - отрезок длиной |y₁—у|. Гипотенуза этого треугольника дает нам действительную длину отрезка.

В обоих случаях получается один и тот же результат.

Пример 10

Отложить на прямой АВ от точки К отрезок длиной 28 мм по направлению от точки А к точке В (рис. 14).

Решение. Выделяем на прямой АВ (условно) произвольный отрезок КМ и определяем его действительную величину. Для этого строим прямоугольный треугольник по двум катетам (К₂М₂) и | у — y₁|. Откладываем на гипотенузе построенного треугольника отрезок КС длиной 28 мм и опускаем из точки С перпендикуляр на прямую А₂В₂ до пересечения с ней в точке С₂. По точке С₂ находим точку С₁ на прямой А₁В₁. Проекциями искомого отрезка являются (К₁С₁, К₂С₂).

Рисунок 14

Рисунок 15

Пример 11

Определить углы наклона прямой АВ к плоскостям проекций (рис. 15).

Решение. Строим, как было указано, прямоугольные треугольники A₁B₁B* и A₂B₂A*. Угол α является углом наклона данной прямой к горизонтальной плоскости проекций; угол β является углом наклона той же прямой к фронтальной плоскости проекций.