1.1.5 Законы Кирхгофа и закон Ома в комплексной форме. Комплексное и полное сопротивление и проводимость

Рассмотрим произвольный контур электрической цепи (рис. 1.6).

Рис. 1.6 – Контур электрической цепи

Согласно второму закону Кирхгофа выполняется равенство:

. (1.33)

Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данное равенство в виде:

или же

Поскольку данное равенство выполняется для любого момента времени , то знак вещественной части можно опустить:

или же

, (1.34)

то есть алгебраическая сумма комплексных амплитуд напряжений на элементах цепи, образующих контур, равна нулю. Это и составляет суть второго закона Кирхгофа в комплексной форме. Знак комплексной амплитуды, по-прежнему определяется совпадением или несовпадением направления напряжения с выбранным направлением обхода контура.

Аналогичным образом рассмотрим произвольный узел электрической цепи (рис. 1.7).

Рис. 1.7 – Узел электрической цепи

Согласно первому закону Кирхгофа выполняется равенство:

. (1.35)

Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данное равенство в виде:

или же

Поскольку данное равенство выполняется для любого момента времени , то знак вещественной части можно опустить:

или же

, (1.36)

то есть алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Это и составляет суть первого закона Кирхгофа в комплексной форме. Знак комплексной амплитуды, по-прежнему определяется направлением соответствующего тока ветви: знак «+» соответствует притекающим к узлу токам, а знак «-» - оттекающим от узла токам.

Преобразуем аналогичным образом компонентные соотношения для сопротивления, индуктивности и емкости:

. (1.37)

Воспользуемся соответствием (1.32) и перепишем данные равенства в виде:

Поскольку операции взятия вещественной части, умножения на константу, дифференцирования и интегрирования являются линейными, то они являются перестановочными и данные равенства можно переписать в виде:

Поскольку данное равенство выполняется для любого момента времени , то знак вещественной части можно опустить. Тогда после выполнения операций дифференцирования и интегрирования данные выражения принимают следующий вид:

или же

. (1.38)

Данные выражения отражают суть закона Ома в комплексной форме: комплексная амплитуда напряжения на данном участке электрической цепи равна произведению комплексной амплитуды тока, протекающего по данному участку, и комплексного сопротивления данного участка.

Таким образом, комплексные сопротивления резистивного, индуктивного и емкостного элементов равны:

, , . (1.39)

При последовательном соединении элементов электрической цепи через них протекает один и тот же ток, а, значит, в выражения для закона Ома в комплексной форме будет входить одна и та же комплексная амплитуда тока. С другой стороны, напряжение на концах такого участка складывается из напряжений на отдельных элементах, а, значит, складываются и комплексные сопротивления этих элементов.

Величина, обратная комплексному сопротивлению, носит название комплексной проводимости. Очевидно, что при параллельном соединении элементов электрической цепи напряжение на их зажимах одинаково, а, значит, в выражения для закона Ома в комплексной форме будет входить одна и та же комплексная амплитуда напряжения. С другой стороны, ток, притекающий к такому соединению, складывается из токов, протекающих по каждому из соединенных элементов, а, значит, складываются и комплексные проводимости этих элементов.

Комплексные проводимости резистивного, индуктивного и емкостного элементов определяются выражениями:

, , . (1.40)

Введенные комплексные сопротивление и проводимость имеют определенный физический смысл. Так модуль комплексного сопротивления некоторого участка электрической цепи, который носит название полного сопротивления этого участка, определяет соотношение между амплитудой напряжения на данном участке и тока, протекающего по нему. Аргумент комплексного сопротивления определяет сдвиг фаз между напряжением на данном участке и током, протекающим по нему.

Рассмотрим примеры расчета линейных электрических цепей в рамках метода комплексных амплитуд.