1.1.3 Представление гармонических токов и напряжений комплексными функциями времени и числами

Ввиду указанной выше особенности установившегося гармонического режима для линейных электрических цепей, согласно которой любую реакцию такой цепи можно задать ее амплитудой и начальной фазой, широкое распространение получило представление гармонических сигналов комплексными числами.

Согласно данному представлению любая реакция линейной электрической цепи, а также воздействие на нее, представляется так называемой комплексной амплитудой:

, ¹, (1.26)

под которой понимают такое комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебаний тока или напряжения, а аргумент - начальной фазе.

Форма записи комплексной амплитуды вида (1.26) получила название экспоненциальной. Помимо этого, ту же комплексную амплитуду можно представить еще в двух формах записи комплексных чисел: алгебраической и тригонометрической:

;

, (1.27)

где и - вещественные части, и - мнимые части комплексных величин и .

Обратный переход от действительной и мнимой частей к амплитуде и начальной фазе гармонического напряжения описывается соотношениями:

, (1.28)

При этом возможны частные случаи:

(1.29)

Аналогично можно осуществить обратный переход и к амплитуде и начальной фазе гармонического тока.

При отыскании аргумента комплексной амплитуды необходимо всегда иметь в виду, что его значение, как и значение начальной фазы, должно лежать в пределах от до рад.

Комплексная амплитуда, как и любое комплексное число, может быть также представлена вектором на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде гармонического сигнала , а угол между вектором и осью действительных чисел – начальной фазе колебаний (рис. 1.3). При этом действительная и мнимая части представляют собой проекции данного вектора на оси действительных и мнимых чисел.

Рис. 1.3 - Графическое изображение комплексной амплитуды

Совокупность векторов, представленных на комплексной плоскости с соблюдением амплитудных и фазовых соотношений между ними, носит название векторной диаграммы. Для построения векторной диаграммы необходимо, прежде всего, выбрать масштаб в соответствии с амплитудами откладываемых векторов (масштаб выбирается отдельно для токов и напряжений). После чего отложить вектора в направлениях, соответствующих их начальным фазам (против часовой стрелки в случае положительной начальной фазы, и по часовой стрелке – в случае отрицательной начальной фазы) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 - Пример построения векторной диаграммы

Вектор, соответствующий сумме двух гармонических колебаний, может быть найден по правилу параллелограмма. Амплитуда и начальная фаза данного колебания могут быть либо измерены, согласно выбранному масштабу, либо рассчитаны по геометрическим формулам:

(1.30)

1.1.4 Символический метод. Метод комплексных амплитуд

Согласно изложенному выше, комплексная амплитуда представляется на комплексной плоскости неподвижным вектором, однако любое гармоническое колебание есть периодическая функция времени. Тогда любое мгновенное значение данного колебания может быть представлено проекцией на ось действительных чисел вектора, вращающегося на комплексной плоскости с частотой против часовой стрелки (положительное направление отсчета угла). Сам вектор можно представить комплексной функцией времени вида:

. (1.31)

Метод анализа электрических цепей гармонического тока, основанный на представлении токов и напряжений в виде проекций комплексных векторов (1.31), вращающихся на комплексной плоскости (рис. 1.5) носит название символического метода. Множитель называется оператором вращения или временным множителем. При этом функции, описывающие реальные гармонические колебания, связаны с введенными комплексными значениями соотношением:

. (1.32)

Рис. 1.5 - Графическое представление гармонического колебания вращающимся вектором на комплексной плоскости

Как уже было сказано для линейных электрических цепей все токи и напряжения меняются с одной и той же частотой. Таким образом, взаимное расположение всех векторов на комплексной плоскости остается одним и тем же в любой момент времени. А это позволяет рассматривать вектора в любой момент времени, например , и ставить им в соответствие их комплексные амплитуды, изображающиеся неподвижными векторами на комплексной плоскости. Метод анализа электрических цепей гармонического тока, основанный на представлении гармонических колебаний их комплексными амплитудами носит название метода комплексных амплитуд.