1. Теоретическая часть

Передаточная функция для звена любого порядка имеет вид

, где n>m.

От передаточной функции W(S) необходимо перейти к передаточной функции эквивалентной импульсной системы:

.

По известным коэффициентам A_m, A_m-1,…,A₀ и B_n, B_n-1,…, B₀ можно определить коэффициенты a₀, a₁,…,a_l и b₁,…,b_k. Используя передаточную функцию эквивалентной импульсной системы, находят разностное уравнение (рекуррентный алгоритм) для моделирования линейных динамических звеньев в классе дробно рациональных передаточных функций.

.

Символ * обозначает, то что эквивалентная импульсная система имеет такие же свойства, как и непрерывная система. Начальные условия задаются следующими формулами x[0]=0, x[-1]=0, x[-l]=0, y[0]=0, y[-1]=0, y[-k]=0.

В основу синтеза рекуррентных алгоритмов положен метод z-преобразования. При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

,

где .

В соответствии с методом z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы определяется соотношением:

,

где , .

В лабораторной работе рассматриваются следующие звенья с передаточными функциями и строятся рекуррентные алгоритмы:

1) Звено первого порядка. Для него имеем:

.

Приравнивая знаменатель этого выражения к нулю, находим корень характеристического уравнения:

.

Тогда для звена первого порядка получим:

; ,

где тогда .

, , .

С учетом полученных выражений разностное уравнение для звена первого порядка имеет вид

.

Время переходного процесса для звена первого порядка определяется по следующей формуле:

.

2) Звено второго порядка, передаточная функция которого имеет вид

,

корни характеристического уравнения принимают значения: , . С учетом метода z-преобразования имеем:

;

;

;

;

где - относительное время, .

, при C>1.

С учетом проведенных преобразований записываем передаточную функцию эквивалентной импульсной системы для звена второго порядка

, ,

по которой определяется разностное уравнение:

.

Отсюда окончательно получаем:

.

В лабораторной работе рассматривается также вариант передаточной функции для звена второго порядка следующего вида:

.

Эта передаточная функция описывает важный класс звеньев второго порядка типа четных полосовых фильтров. Для нее корни характеристического уравнения имеют вид

, .

Параметры разностных уравнений определяются следующими формулами:

;

;

;

;

где тогда

, при C>1

.

С учетом полученных коэффициентов передаточная функция эквивалентной импульсной системы принимает следующий вид:

,

, .

От эквивалентной импульсной системы осуществляется переход к разностному уравнению:

.

Передаточная функция для звена второго порядка может быть представлена еще в одном виде, удобном для физической интерпретации процессов:

,

где [Гц²]. Вводя обозначения, , => (следовательно) , получим:

.

Учитывая связь между полосой пропускания (определяемой на уровне 0.707) и добротностью,

,

где Δω – полоса пропускания, Q – добротность. Окончательно получим:

,

где ; .

Далее определяем импульсно-переходную функцию:

,

где N(S) и M(S) соответственно полиномы числителя и знаменателя W(S), M`(S) производная по S

Отсюда имеем:

.

Для четного полосового фильтра с ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

Условие нормировки для четного полосового фильтра определяется следующими соотношениями:

[рад/сек] [рад]

[ рад/сек] [рад]

[рад]; ,

где ω_рt=2/N, t – шаг дискретизации по времени.

da – коэффициент прорежения; g – коэффициент запаса.

[1/сек].

По степени экспоненты определяется время переходного процесса как в четном, так и нечетном фильтрах. Отсюда имеем:

.

Время переходного процесса полосового фильтра определяется с инженерной точностью.

Условие нормировки для нечетного полосового фильтра определяется следующими соотношениями

, отсюда d=0.

, , отсюда .

С учетом коэффициентов запаса и прорежения имеем ,

.

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид

С условием нормировки формула для передаточной функции нечетного полосового фильтра принимает вид