7. Элементы теории случайных процессов

7.1.Общие понятия

Определение 1. Случайной функцией X(t,) X(t), называется функция неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной, заданной при любом tT на одном и том же пространстве элементарных событий.

Параметром t обычно является время, но им может быть и координата пространства, и номер объекта некоторого потока объектов, и т.д. Понятие «случайная функция» не следует путать с понятием функции случайного аргумента.

Определение 2. Случайным (или стохастическим) процессом называется множество случайных функций, определённых на одном и том же интервале T.

В распространённом частном случае множество случайных функций представляет собой всего одну функцию. Тогда понятия «случайный процесс» и «случайная функция» являются синонимами. Процесс, определяемый двумя случайными функциями, называют случайным полем. В результате испытания или наблюдения, т.е. при =₀, будет иметь место реализация случайного процесса. Можно говорить о случайном процессе как о бесконечной совокупности возможных реализаций. Примерами случайного процесса являются:

а) изменение напряжения в электрической сети в рабочий день (каждая реализация должна соответствовать одному и тому же отрезку времени суток);

б) изменение значения параметра детали после подналадки станка-автомата или технологической линии (каждая новая реализация должна начинаться с новой подналадки и заканчиваться остановкой работы оборудования);

в) изменение курса доллара на ближайшее время (каждая реализация соответствует определенному сценарию развития ситуации в представлении

определенного эксперта, осуществляющего прогноз);

г) изменение амплитуды колебаний ускорений, действующих на груз, перевозимый автомобилем по заданному участку дороги (здесь параметр t – пройденное расстояние, а каждая реализация должна соответствовать определенному автомобилю из заданного класса или разных классов).

Случайный процесс графически изображается в виде совокупности возможных реализаций. На рис. 18, 19 приведены реализации для случая, когда параметры t и x могут принимать непрерывный ряд значений.

При каждом фиксированном значении t мы имеем дело со случайной величиной X, так что точки на кривых при t=const являются ее значениями. В общем случае при разных t будут иметь место разные функции или плотности распределения случайной величины X. Поэтому вводятся понятия функции распределения процесса – F(x;t) и плотности распределения процесса – f(x;t). Вид распределения чаще всего не меняется в зависимости от t, но могут изменяться его параметры. Аналогично вводятся понятия математического ожидания процесса M[X(t)]a(t) и дисперсии процесса D[X(t)]D(t), которые в общем случае являются функциями от t. Если X – дискретная случайная величина при любом t, то вместо f(x;t) надо пользоваться распределением вероятностей P(x;t).

Характеризовать случайный процесс одномерным распределением F(x;t) обычно недостаточно. Это видно и из рисунков. Если ввести не одну, а две переменные: t₁,t₂, то при каждой фиксированной паре значений этих переменных будут иметь место две случайные величины X₁,X₂. Значит, более полной характеристикой случайного процесса является двумерное распределение: либо функция распределения – F₂(x₁,x₂; t₁,t₂), либо плотность распределения, связанная с функцией распределения формулой:

f₂(x₁,x₂;t₁,t₂)=

В этом случае определяют такие важные характеристики случайного процесса, как ковариационную (автоковариационную) и корреляционную (автокорреляционную) функции: K(t₁,t₂)cov(X₁(t₁),X₂(t₂)); r(t₁,t₂)= , где (t₁) и (t₂) – средние квадратические отклонения процесса как функции от t₁ и t₂. Функции K(t₁,t₂) и r(t₁,t₂) характеризуют степень тесноты линейной связи между случайными величинами Х₁ и Х₂ при фиксированных значениях t₁,t₂. Степень тесноты этой связи на рис.12 выше, чем на рис.13. Кроме автоковариационной и автокорреляционной функций существуют понятия взаимных ковариационной и корреляционной функций, когда рассматривают два случайных процесса.

Еще более полной характеристикой случайного процесса является n-мерное распределение (n>2): F_n(x₁,x₂,…,x_n; t₁,t₂,…,t_n). Но на практике обычно ограничиваются описанием процесса двумерным распределением или условным F_у(x₂;t₂ / x₁;t₁). Для описания случайного процесса достаточно задания условного распределения, в частности, в том случае, когда известно или можно определить значение x₁ при фиксированном значении t₁.

Случайными процессами, по сути, описывают совокупность возможных вариантов изменения состояния некоторой системы, как в прошлом, так и в будущем. Необходимость описания поведения системы в прошлом обычно обусловлена неполными данными о ее состояниях в различные моменты времени. Описание изменения состояния системы часто субъективно, так как разные субъекты могут обладать разной информацией.

Теория случайных процессов нашла широкое применение в физике, химии, биологии, астрономии, социологии и других науках. В частности, она успешно применялась и применяется при описании развития эпидемий, роста популяций, процессов массового обслуживания, хранения и создания запасов (воды, зерна, комплектующих изделий и пр.), процессов разорения в страховом деле, процессов, отражающих изменение результатов подсчета голосов во время выборов и т.д. Случайными процессами можно описывать и качественные изменения состояния системы, т.е. когда параметр х измеряется в шкале наименований. В этих случаях каждому состоянию (наименованию) ставят в соответствие некоторый порядковый номер. Применение теории случайных процессов в экономике пока не столь эффективно из-за сложностей получения экспертных оценок, вызывающих доверие.