2.2. Поверхностные интегралы

2.2.1. Лабораторная работа №1 Поверхностные интегралы

def 1: Поверхность Φ называется полной, если фундаментальная последователь-ность точек из данной поверхности Φ сходится к точке принадлежащей Ф.

def 2: Поверхность Φ называется ограниченной, если существует шар, содержащий все точки данной поверхности.

Пусть задана поверхность Φ удовлетворяющая условиям:

1. гладкая;

2. без особых точек;

3. двух сторонняя;

4. полная;

5. ограниченная.

и удовлетворяющая уравнению: x=x(u;v)

y=y(u;v) (1)

z=z(u;v)

или (1')

На поверхности Ф определены и непрерывны 4 функции: f(x;y;z), P(x;y;z), Q(x;y;z), . Гладкими или кусочно гладкими кривыми разбиваем Ф на частичные поверхности . Рассмотрим точку . Через обозначим площадь .

, где (2)

Формула (2) верна и для всей площади Ф.

Составим суммы:

, где

cos x, cos y, cos z компоненты единичного вектора нормали. вектор нормали

def 3: Число называется пределом интегральных сумм при А→0, если для что для разбиения Ф на Ф_i , диаметр разбиения которого и для набора точек выполняется неравенство

def 4: Если существует конечный предел суммы то говорят что функция f(x,y,z) интегрируема по поверхности Ф, а число называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) и обозначается где дифференциал поверхности.

def 5: Если существует конечный предел суммы , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функций P,Q,R соответственно и обозначается:

Если возьмем сумму , то получи общий поверхностный интеграл второго рода:

Если Ф кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность x=x(u;v), y=y(u;v), z=z(u;v) и f(x,y,z) функция определена и непрерывна в точках поверхности Ф, то

, где (3)

В частном случае, если поверхность Ф имеет вид z=z(x;y) однозначная, непрерывно дифференцируемая функция, то

Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности Ф.

Если S гладкая двухсторонняя поверхность, S⁺ ее сторона, характеризуемая направлением нормали три функции, определенные и непрерывные на поверхности S, то

(4)

При переходе к другой стороне S^– поверхности S интеграл (4) меняет свой знак на противоположный.

Моментом инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами:

Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам:

Пример 1.

Вычислить , где S часть конической поверхности , заключенной между плоскостями z=0, z=1.

Решение:

Имеем

.

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:

Областью интегрирования D является круг

Пример 2.

Вычислить , где T внешняя сторона части эллипсоида , расположенной в первом октанте.

Решение:

Расчленяем данный поверхностный интеграл на 3 слагаемых интеграла: и пользуясь уравнением поверхности Ф, и формулой

I₁=

I₂=

I₃=

I₁=

I₃=

Пример 3.

Найти момент инерции полусферы относительно оси Oz

Решение:

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость xOy, т.е. круг , а поэтому, переходя к полярным координатам, получим:

Замечание: внутри интеграл вычисляется с помощью подстановки .

Пример 4.

Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z=x, огран. плоскостями x+y=1, y=0, x=0.

Решение:

Найдем площадь S указанной части плоскости