2.1.2. Лабораторная работа 2

Криволинейные интегралы второго рода

Def1: Конечный предел называется КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ВТОРОГО РОДА функций P(x,y,z), (Q(x,y,z),R(x,y,z)) по кривой L и обозначается:

Сумма интегралов называется ОБЩИМ КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ВТОРОГО РОДА.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Общий криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу по перемещению материальной точки А в точку В по кривой L под действием силы с составляющими P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z).

F(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))

Если функции P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) непрерывны в точках кривой , пробегаемой в направлении возрастания параметра t , то полагают:

При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изменяет свой знак на противоположный.

Если P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=du, где u=u(x,y,z) однозначная функция в области V, то независимо от вида кривой С, целиком расположенной в V, имеем:

Где начальная и конечная точка пути. В простейшем случае, если область V односвязная и функции P,Q,R обладают непрерывными частными производными первого порядка, для этого необходимо и достаточно, чтобы в области V тождественно выполнены следующие условия:

Тогда в простейшем случае стандартной параллелепидальной обл. V, функцию u можно найти по формуле:

, где некоторая фиксированная точка области V и c-const.

ПРИМЕР 1

Найти работу силового поля в каждой точке (x,y) которого напряжение (сила действующая на единицу массы) когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.

Решение: Работа, совершаемая силой , действующей на точку при перемещении ее по дуге АВ

Подставляя в формулу (1) проекции силы , действующей на точку F_x=m(x+y), F_y=-mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t получим:

Задания

I Вычислить

1 , где L отрезок прямой от (1;1;1) до (2;3;4).

2 , где К дуга винтовой линии от точки пересечения линии с плоскостью z=0 до точки ее пересечения с плоскостью z=a.

3 вдоль прямой линии.

4 , где К окружность положительно ориентированная на верхней стороне плоскости.

5 , где АО дуга окружности расположенная по ту сторону от плоскости xOz, где y>0.

6 , где L эллипс положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.

7 , где L эллипс положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.

8 , где L эллипс положительно ориентированный на верхней стороне плоскости.

9 , где K кривая положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.

10 , где L кривая положительно ориентированная на внешней стороне правой (x≥0) полусферы.

II

Проверить является ли данные выражения полными дифференциалами функции двух переменных, и если да, то найти эти функции.

III Найти первообразную функции U(x,y) по ее полному дифференциалу.

7.

8.

9.

10.

4) Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигур, ограниченных следующими кривыми:

1. y²=x, x²=y

2. x=accost, y=bsint

3.Площадь четырехугольника с вершинами А(6;1), В(4;5), С(1;6), D(-1;1)

4. Контуром ОАВСО, если А(1;3), В(0;4), С(-1;2), О(0;0). ОА, ВС, СО отрезки прямых, а АВ дуга параболы у=4-х².

5. Площадь кардиоиды х=2rcost-rcos2t, y=2rsint-rsin2t

6. (x+y)²=ax, (a>0) и осью Ох.

7. x=acos³t, y=asin³t

8. (x+y)³=axy

9. (x+y)⁴=x²y

10. (x+y)²=xy

5)

1. Поле образованно силой F= , направление которой составляет угол с направлением радиус-вектора точки её приложения. Найти работу поля при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности x²+y²=a² из точки (а;0) в точку (0;а).

2. В каждой точке плоскости действует сила F, проекция которой на координатные оси равны F_x=xy, F_y=x+y. Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной единице, из начала координат в точку (1;1) по прямой у=х.

3. Проекция силы F на координатные оси равны F_x=2xy, F_y=x². Показать, что силовое поле потенциальное и вычислить работу поля при перемещении точки массой, равной единице, из точки (1;0) в точку (0;3)

4. В каждой точке плоскости действует сила F, проекция которой на координатные оси равны F_x=xy, F_y=x+y. Вычислить работу силы при перемещении точки с массой, равной единице, из начала координат в точку (1;1) по параболе у=х².

5. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину F и направление положительной полуоси Ох. Найти работу поля, когда материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности х²+y²=r² , лежащую в первом квадранте.

6. Найти работу, производимую силой тяжести при перемещении материальной точки массы m из положения А(x₁;y₁;z₁) в положение В(x₂;y₂;z₂) (ось Оz направлена вертикально вверх).

7. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорционально удалению точки от начала координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса , лежащую в первом квадранте.

8. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от оси Оz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности х=cost, y=1, z=sint от точки М(1;1;0) до точки N(0;1;1).

9. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки её приложения от плоскости хОу и направлена к началу координат. Вычислить работу при движении точки под действием этой силы по прямой x=at, y=bt, z=ct, от точки М(a;b;c) до точки N(2a;2b;2c).

10. Силовое поле образованно силой F(х,у), равной расстоянию точки её приложения от начала координат и направленной в начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы у²=8х от точки (2;4) до точки (4;4 )

ОТВЕТЫ

1) 1. 13 6. -16π

2. 0 7. -2 πa³

3. 3 8. -8π

4. πа² 9. πa²

5. r³ 10. – a²

2)

1.F(x,y)= 8x³sin²y- 5y²+c

2. Не является полным дифференциалом

3. F(x,y)= Ln(x+y)- +c

4. F(x,y)= +c

5. F(x,y)= 4x³ y+ +c

6. F(x,y)= xe^2y-5y²e^x+c

7. F(x,y)= x³ -x²y+xy²- y³+c

8. F(x,y)= +x²y-xy²- +c

9. F(x,y)= x²cosy+y²cosx+c

10. F(x,y)= +c

3)

1. U=x-e^x-y+sin(x-y)+2y+c

2. U=x- e^x-y+sinx+siny+c

3. U= x³-x²y²+3x+ x³+3y+c

4. U=x² +y²-1.5x²y²+2xy+c

5. U= chx+xchy+y+c

6. U= xarcsinx-yarcsiny+ - x²Lny+c

7. U= Ln|x-y|+

8. U= (x²-y²)²+c

9. U=Ln|x+y|-

10. U= x²cosy+y²cosx+c

4)

1. 6. a²

2. πab 7. πa²

3. 22.5 8.

4. 9.

5. 6πr² 10.

5)

1. rπ 6. mg(z₁-z₂)

2. 7. (a²-b²)

3. 0 8. 0,5kLn2

4. 9.

5. FR 10. -14

k-коэффициент пропорциональности