Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МетодичкаКратные интегралы.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

2.1.1. Лабораторная работа

Криволинейные интегралы первого рода

Пусть l спрямляемая кривая, кривая не имеет самоналогания и самопересечения. Пусть данная кривая задана параметрически:

И для определенности точка A(φ(a),ψ(a),s(a)) начальная точка, а точка B(φ(b),ψ(b),s(b)) конечная точка, т.е. l=AB.

Пусть на данной кривой l заданы функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) . В силу того, что l ограниченное, замкнутое множество, функции f,P,Q,R равномерно непрерывны.

Кривую l разобьем на дуги так, чтобы на дуге χ появятся точки . Точка совпадает с точкой A, точка совпадает с точкой B. частичные дуги. Через обозначим ДЛИНЫ этих ЧАСТИЧНЫХ ДУГ:

ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ кривой. В каждой частичной дуге берем точку , где , где .

Составим интегральные суммы:

Def1: число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральной суммы , если для не зависящее от выбора точки , что для всех разбиений с диаметром выполняется неравенство .

Def2: конечный предел интегральной суммы при называется КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ПЕРВОГО РОДА функции f(x,y,z) по кривой и обозначается:

Если функция f(x,y,z) определена и непрерывна в точках гладкой кривой С:

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t) ,

и - дифференциал дуги, по определению полагают:

Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от направления кривой С.

Свойства

Физический смысл криволинейного интеграла первого рода представляет собой массу кривой L, линейная плотность кривой L равна p(x,y,z).

Если p=p(x,y,z) линейная плотность в текущей точке (x,y,z) кривой С, то МАССА кривой С равна:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ этой кривой выражаются формулами:

Пример 1

Вычислить если

Решение: найдем

Пример 2

Найти массу дуги кривой , линейная плотность которой меняется по закону .

Решение: .

Пример 3

Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды .

Решение: координаты центра тяжести однородной дуги кривой К вычисляется по формулам:

, где длина дуги.

Имеем:

Тогда

Пример 4

Найти с помощью криволинейного интеграла длину астроиды .

Решение: воспользуемся формулой . В нашем случае

Поскольку кривая симметрична относительно координатных осей, то

Пример 5

Вычислить площадь части боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного снизу плоскостью xOy, а сверху поверхностью .

Решение: задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от функции по окружности . Так как срезающая сверху поверхность симметрична относительно плоскостей xOz и yOz, то можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой части окружности расположенной в первой четверти плоскости xOy. Получим:

ЗАДАНИЯ

I ВЫЧИСЛИТЬ

1 , где L первый виток винтовой линии

2 , где L четверть окружности , лежащая в первом октанте.

3 , где L первый виток конической винтовой линии

x=tcost, y=tsint, z=t.

4 , где L четверть окружности лежащая в первом октанте.

5 , где C дуга кривой .

6 , где C первый виток винтовой линии x=accost, y=asint, z=bt.

7 , где C окружность

8 , где

9 ,где от точки А(0,0,0) до точки В

10 , где .

1 Найти массу первого витка винтовой линии x=accost, y=asint, x=bt, если плотность в каждой равна радиус-вектору этой точки.

2 Найти массу дуги параболы , лежащей между точками (1;0,5) и (2;2), если линейная плотность .

3 Найти массу первого витка винтовой линии x=cost, y=sint, z=t, если плотность в каждой точке равна радиус-вектору этой точки.

4 Вычислить массу четвертой части эллипса , лежащей в первом квадранте, если линейная плотность ρ(x,y)=xy.

5 Найти массу дуги винтовой линии x=accost, y=bsint, z=bt , если плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты.

6 Найти массу дуги окружности x=cost, y=sint , если линейная плотность в ее точке ρ(x,y)=y.

7 Найти массу участка цепной линии между точками с абсциссами , если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (0;a) равна 0.