1.2.2. Лабораторная работа 2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛЕЧИН ПОСРЕДСТВОМ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

ОБЬЁМ области Т определяется по формуле:

Если плотность тела переменная: γ=γ(x;y;z), то МАССА тела, занимающего область Т вычисляется по формуле:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ тела определяются по формулам:

_{При γ=I имеем:}

координаты геометрического центра тяжести).

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V^| относительно координатных плоскостей называется, соответственно интеграл:

(*)

.

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ относительно КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ:

I_x= I_xy+I_xz

I_y=I_yx+I_yz

I_z= I_zx+I_zy

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V^| относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ называется интеграл:

Используя (*) получаем:

I₀=I_xy+I_yz+I_zx

Пример1: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

hz=x²+y², z=h.

Решение: данное тело ограниченно снизу параболоидом z= , сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x²+y²≤h² плоскости хОу. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида имеет вид z= . Объём тела равен

Пример2: найти массу прямоугольного параллелепипеда 0≤х≤а, 0≤у≤b, 0≤z≤c, если плотность в точке (x;y;z) пропорциональна сумме координат этой точки.

Решение: в данном случае γ(x;y;z)= r(x+y+z).

Следовательно получим: m=

.

ЗАДАНИЯ

1) Найти объём тела ограниченного поверхностями:

1. , z=x²+y²

2. z=0, x=0.5(x²+y²), x²+y²+z²=4 (внутри цилиндра)

3. z=4-y², z=y²+2, x=-1, x=2

4. z=x²+y², z= x²+2y², y=x, y=2x, x=1.

5. z=x²+y², z= 2x²+2y², y=x², y=x.

6. x²+y²+z²=r², x²+y²=r(r-2z), (z≥0)

7. z=x²+y², z²=xy

8. az=x²+y², z= , a>0

9. x+y+z=a, x+y+z=2a, x+y=z, x+y=2z

10. x²+y²+4z²=1

2)

1. Найти массу куба 0≤х≤а, 0≤у≤а, 0≤z≤а, если плотность в точке (x;y;z) есть γ(x;y;z)=x+y+z.

2. Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причём на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.

3. Из октана шара x²+y²+z²≤r² (x≥0, y≥0, z≥0) вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями (a≤c, b≤c). Найти массу этого тела, если плотность в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.

4. Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, x²+y²-z²=0, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

5. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой её точке пропорциональна аппликате этой точки.

6. Определить массу сферического слоя между поверхностями x²+y²+z²=а² и x²+y²+z²=4а², если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

7. вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.

8. определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями , x=0, y=0, z=0, a,b,c>0.

Замечание: использовать замену x=aρcos²φ, y=bρsin²φ, z=z, (0≤φ≤2π, ρ≥0).

9. определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью:

Замечание: использовать замену x=aρsinθcosφ, y=bρsinθsinφ, z=cρcosθ, (0≤φ≤2π, ρ≥0, 0≤θ≤π).

10. Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:

, z=0

Замечание: использовать замену x=aρcosφ, y=bsinφ, z=z, (0≤φ≤2π, ρ≥0).

II

1 Найти массу куба , если плотность в точке есть .

2 Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.

3 Из октана шара вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями и плоскостью . Найти массу этого тела, если плотность его в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.

4 Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, , если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

5 Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой ее точке пропорционально аппликате этой точки.

6 Определить массу сферического слоя между поверхностями и , если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки то начала координат.

7 Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

8 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями .

Замечание: использовать замену .

9 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью:

Замечание: использовать замену .

10 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:

Замечание: использовать замену .

III

1 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями 2x+3y-12=0, x=0, y=0, z=0 и цилиндрической поверхностью .

2 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями , x=5, y=5, z=0.

3 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями x+y=1, x=0, y=0, z=0.

4 Найти координаты центра тяжести восьмой части однородного эллипсоида , расположенной в первом октанте.

5 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями .

6 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями

7 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями

8 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями .

9 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями .

10 Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями .

Ответы

I

II

к - коэффициент пропорциональности

III

2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Криволинейные интегралы