1.2. Тройные интегралы.

1.2.1. Лабораторная работа 1

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

def1: ТРЁХМЕРНЫЙ КООРДИНАТНЫМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ называется множество точек (х₁, х₂, х₃)ЄR³ удовлетворяющих условию:

а_i≤х_i≤b_i , i=1,2,3 a_i, b_i ЄR и этот параллелепипед обозначим:

П=[a₁, b₁]*[a₂, b₃]*[a₃, b₃]

Пусть задана функция f(x)= f(x₁, x₂, x₃) в трёхмерной области ПÌR³. Возьмём разбиение Т данного П плоскостями х=х_i параллельными координатным гиперплоскостям. Разобьём на частичные параллелепипеды. В каждом П_j возьмём точку Р_jÌП_j, где Р_j=(e^j₁, e^j₂, e^j₃). Обозначим через μ(П_j)- объем частичного параллелепипеда . Составим сумму -это ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА функции f, соответствующая данному разбиению Т и выбору точек Р_j из частичных параллелепипедов П_j.

Обозначим через -ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ Т, где -ДИОГАНАЛЬ частичного параллелепипеда.

def2: Число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральных сумм при диаметре λ→0, если для "ε>0 $δ>0, что для "разбиения Т диаметр которого λ<δ и для " набора точек {P_j} P_jЄП_j выполняется неравенство:

def3: Функция f(x₁, x₂,x₃) называется ИНТЕГРИРУЕМОЙ в трёхмерном прямоугольном координатном параллелепипеде, если существует конечный предел

и этот предел называется ТРЁХКРАТНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x₁, x₂,x₃) по трёхмерному прямоугольному параллелепипеду и обозначается:

Пусть x₁=х, x₂=у, x₃=z.

Если функция f(x,y,z) непрерывна, область D ограниченна и определена неравенствами: x₁≤х≤ x₂ у₁(х)≤у≤у₂(х), z₁(x,y)≤z≤z₂(x,y), где у₁(х),у₂(х), z₁(x,y),z₂(x,y) непрерывные функции, то тройной интеграл от функции f(x,y,z), распространенный на область D, может быть вычислен по формуле:

Иногда удобно также применять формулу:

где S(x) сечение области D плоскостью х=const.

При переходе от декартовых координат x,y,z к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ φ,z, связанным с x,y,z соотношениями:

х=ρcosφ,

y=ρsinφ,

z=z.

где 0≤ρ≤+∞, 0≤φ≤2π, -∞≤z≤+∞, якобиан равен I=ρ и формула преобразования тройного интеграла к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ИМЕЕТ ВИД:

При переходе от декартовых координат к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ρ,φ,θ связанными с x,y,z соотношениями:

х=ρsinθcosφ,

y=ρsinθsinφ,

z=ρcosθ,

где 0≤ρ≤+∞, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π. Якобиан преобразования равен: I=ρ² sinθ и формула преобразования тройного интеграла к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ имеет вид:

Пример1: Вычислить V: z=xy, y=x, x=1, z=0

Пример2: Вычислить , если Т шар х²+у²+z²≤r².

Решение: введём сферические координаты х=ρsinθcosφ, y=ρsinθsinφ, z=ρcosθ. Якобиан преобразования I=ρ² sinθ.

ЗАДАНИЕ

1)Вычислить:

1. , Т=[(x,y,z):x+y+z=1, z=0, y=0,x=0].

2. ,Т: , x²+y²+z²≤3a²

3. T: x²+z²=1, y=0,y=1.

4. , T: z=0, z=a, x=0, y=0, x+y=b (a>0, b>0).

5. , T: y²=x, y=x², z=xy, z=0.

6. , T: z=xy, x+y=1, z=0 (z≥0).

7. , T: x=0, z=0, y=0, y=h, x+z=a

8. ,T: y=0, z=0,

9. , T: x+y+z=1, z=0, x=0, y=0.

10. , T: x+y=1, x+y=0, y=0, z=0, z=3.

2) Вычислить интеграл с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам.

1. , G: x²+z²=1, y=0, y=1.

2. , G: , z=2.

3. , G: x²+y²+z²≤r².

4. , G: x²+y²+z²≤1

5. G: x²+y²≤2az, x²+y²+z²≤3a²

6. G: x²+y²+z²≥r² , x²+y²+z²≤2rz

7. , G: , z≥1.

8. , G: , 0≤z≤h.

9. , G: x²+y²+z²≤r² , y²+z²≤x² , x≥0.

10. , G: x²+y²≤2z, 0≤z≤2.

3) расставить пределы интегрирования в последовательности x,y,z; y,x,z; z,y,x для указанной области V.

1. V: x²+y²=r² , z=0, z=H

2. V: , z=0, x=0, y=0 (a>0, b>0, c>0)

3. V: x²+y²=1, z=0, z=1 (x≥0, y≥0)

4. V: z=0

5. V: z= 1-x²-y², z=0

6. V: 2x+3y+4z=12, z=0, y=0, x=0.

7. V: y²+2z²=4x, x=2.

8. V: x²+y²=z², z=1

9. V: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

10. V: x²+y²=r² , z=3, z=5.

ОТВЕТЫ

1) 1. 6.

2. 7.

3. 1.5π 8.

4. 9. 0.5

5. 10. 3

2) 1. 1.5π 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.