1.1.4. Лабораторная работа 4

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В МЕХАНИКЕ

Если пластинка занимает область D плоскости xOy и имеет переменную поверхностную плоскость , то МАССА М пластинки выражается двойным интегралом:

Пусть на плоскости xOy задана система материальных точек А₁(х₁; у₁), А₂(х₂; у₂),…., А_n(х_n; у_n) с массами m₁, m₂,…, m_n.

def1: СТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ М_m ЭТОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

(1)

Аналогично определяется СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Оу:

(1^|)

СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ М_х, М_у ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо сумм (1) и (1^|) выражаются соответствующими двойными интегралами:

В случае однородной пластинки γ=const, которую принимают равной γ=1.

def2: МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I_x, I_y СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ Ох, Оу называется сумма произведения масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси:

(2)

(2^|)

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ I_x, I_y СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо (2) и (2^|) выражается соответствующими двойными интегралами:

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ пластинки относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ равен:

ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ пластины можно вычислить по формулам:

; , где М масса пластинки, М_х, М_у её статические моменты относительно осей координат.

В случае однородной пластинки формулы имеют вид:

, где S площадь области D.

Пример1

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y²=4x+4y, y²=-2x+4.

Решение: поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то Остаётся найти . Найдём площадь данной фигуры

Тогда

Пример2: Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кардиоидой ρ=а(1+cosθ), относительно оси Ох.

Решение: момент инерции относительно оси Ох равен

Перейдём к полярным координатам . Тогда

Пример3: Найти момент инерции круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности.

Решение: составим уравнение окружности, проходящей через начало координат, х²+у²=2rx и вычислим момент инерции I₀. Получим: . Вычислим интеграл I₀ в полярных координатах. В полярной системе координат уравнение данной окружности представляется в виде ρ=2rcosφ. Получим:

ЗАДАНИЕ

1)

1. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки х²+у²≤а², если плотность её вещества в точке М(х,у) пропорциональна расстоянию от точки М^| до точки А(а;0)

Замечание: применяем полярные координаты

2. найти статический момент однородного тела, имеющего форму прямого конуса (основание радиуса R, высота H) относительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию.

3. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами ОА=а, ОВ=b, относительно катета ОА, если плоскость её в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА.

4. Найти массу квадратной пластины со стороной а, если плотность вещества пластины в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна μ₀ в центре квадрата.

5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ay=x², x+y=2a (a>0)

6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , х=0, у=0.

7. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , (х≥0, у≥0).

Замечание: использовать замену х=acos³t, y=asin³t, 0≤t≤ , взять перед интегралом знак “-” в следствии того, что возрастанию параметра t от 0 до соответствует убывание переменной х от а до 0.

8. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой , (петля).

9. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой , (х≥0, у≥0).

Замечание: перейти к полярным координатам.

10. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ρ=a(1+cosφ), φ=0.

2)

1. Найти центробежный момент инерции I_x,y однородной фигуры, ограниченной кривыми: ax=x², ax=y² (a>0).

2. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой ,

3. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой .

4. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , (0≤t≤2π), у=0.

5. найти статические моменты относительно координатных осей четверти круга радиуса R.

6. Найти статические моменты круга относительно его касательной.

7. Найти статические моменты полукруга относительно его диаметра.

Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x², y+x=2, y=2.

8. Найти статический момент правильного шестиугольника со стороной а относительно стороны (γ=1).

9. Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x², y+x=2, y=2.

10. Найти статические моменты однородного тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a,b,c относительно его граней.

3)

1. Вычислить момент инерции прямоугольника со сторонами a и b относительно его сторон.

2. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно одной из вершин.

3. Вычислить момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х+у=2, х=2, у=2 относительно оси Ох.

4. Вычислить момент инерции полукруга относительно его диаметра.

5. Вычислить момент инерции круга относительно его центра.

6. Вычислить момент инерции круга относительно касательной.

7. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кривой относительно начала координат.

8. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями , х+у=3, у=0.

9. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями у=4-х², у=0, относительно оси Ох.

10. Вычислить момент инерции площади эллипса относительно его большой оси.