1.1.2 Лабораторная работа 2

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Преобразование двойного интеграла от ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ х, у к ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ связанным с прямоугольными координатами соотношением: , осуществляется по формуле:

Если область интегрирования D^| ограниченна двумя лучами, выходящими из полюса, и двумя кривыми и , где и однозначные функции при

, то двойной интеграл вычисляется по формуле:

где , причём сначала вычисляется интеграл , в котором считается постоянным.

Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.

Пример1: Перейдя к полярным координатам, вычислить , если D первая четверть круга

Решение: полагая имеем:

Пример2: В двойном интеграле перейти к полярным координатам и записать интеграл в виде:

Р ешение:

а

_{ЗАДАНИЯ}

_{1) С помощью перехода к полярным координатам вычислить двойные интегралы:}

1. , где D круг

2. , где D круг .

3. , где D часть кольца .

4. , где D часть круга , лежащая в 1-ом квадранте.

5. , где D круг

6. , где D верхний полукруг радиуса a с центром в точке (a,0)

7. , где D полукруг радиуса a с центром в начале координат, лежащей выше оси Ox.

8. , где D полукруг диаметра a с центром в точке С( , 0).

9. , D окружность .

10. D: , .

2) В данных задачах перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.

1. , где D круг _.

_2. , где D является общей частью 2-х кругов _{, .}

_3. , где D треугольник ограниченный прямыми y=x, y=-x, x=1.

4. , где D: _.

_5. , где D круг _.

_6. , где D область ограниченная прямыми y=x, y=0, x=1.

7. , где D: y=x, y=2x, _{, .}

_8. , где D круг

_9. , где D круг

_10. , где D меньший из 2-х сегментов, на которые прямая x+y=2 рассекает круг

_{3) В двойном интеграле} , перейти к полярным координатам r и φ, и записать интеграл в виде :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

ОТВЕТЫ.

1)

1. πr²h 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10. 0

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ПЛОЩАДЬ

Площадь плоской области D равна . Если область D определена, например неравенствами , то:

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то:

Прамер1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

x+y=6.

Решение: определим точки пересечения данных линий

=>x=6-y

6-y=4y-y²

y²-5y+6=0

=> В(3,3), А(4,2) - точки пересечения

Пример2: вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями ρ=1, (вне окружности ρ=1)

Решение: найдём координаты точки А, пересечения окружностей . Тогда

Пример3: Найти площадь фигуры, ограниченной линией x³+y³=axy (петля).

Решение: примем за параметр переменную x и преобразуем наш интеграл в определённый интеграл. Из уравнения параболы находим dy=4xdx. Поэтому

Пример4: Найти площадь, ограниченную петлёй декартового листа

Решение: Преобразуем данное уравнение к полярным координатам .

Т. е.

Оси симметрии петли является луч , а поэтому

Ответ:

1. Найти площадь плоских фигур, ограниченных заданными ниже кривыми:

1. xy=4, x+y-5=0

2. x=y, x=2y, x+y=a, x+3y=a (a>0)

3. xy=a², xy=b², y=m, y=n

4. y=x, y=5x, x=1

5. 

6. y²=10x+25, y²=6x+9

7. 

8. y=0, x=0, x+y=1

9. 

10. x²=ay, x²=by, y=m, y=n, 0<a<b, 0<m<n.

2. Вычислить площади плоских фигур, ограниченных заданными кривыми, с помощью преобразования к полярным координатам:

1. (x²+y²)²= 2a²(x²-y²)

2. (x²+2y²)³= xy⁴

3. 

4. x²+y²=2x, y²+x²=4y, y=0, y=x

5. (x+y)³=xy, (x≥0, y≥0)

6. 

7. (x²+y²-ax)²=a²(x²+y²), (внутри каждой из этих кривых)

8. (x²+y²)²= a²x²+b²y²

9. x⁴+y⁴= 2a²xy

10. 

3. Найти площадь области ограниченной кривыми:

1. r=a(1+cosφ), r=acosφ, (a>0)

2. r= cosφ=1, r=2 (имеется в виду область, не содержащая полюса)

3. ρ=acosφ, ρ=bcosφ, b>a>0

4. ρ=2(1-cosφ), ρ=2 (вне кардиоиды)

5. ρ=2(1+cosφ), ρ=2cosφ

6. ρ=asin3φ, a>0

7. ρ=a(1-cosφ), ρ=a (вне кардиоиды)

8. ρ=acos2φ,

9. ρ=4sinφ, ρ=2sinφ

10. ρ²=a² sin2φ

ОТВЕТЫ

1)

1.

2.

3.

4. 2

5. πab

6.

7.

8.

9.

10.

2)

1. 2a²

2

3. 27π

4. 3

5.

6. 6

7.

8.

9.

10.

3)

1.

2.

3.

4. 8-π

5. 5π

6.

7.

8.

9. 3π

10. a²