Государственный комитет Российской Федерации

По высшему образованию

Калмыцкий государственный университет

КРАТНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лабораторные работы по математическому анализу

Элиста 2011

Глава1 кратные интегралы

1.1. Двойные интегралы

1.1.1. Лабораторная работа 1 непосредственное вычисление двойных интегралов

r_i+1

Пусть D замкнутая ограниченная область с границей r: S_r=0, функция f(x,y) ограниченна в области D. Разобьём область D конечным числом кривых r_i:S_ri=0 на частичные области D_i , i=1,2..r. Эти области D_i квадрируемые, т.е. имеют площадь.

О

D_i

r

бозначим через ΔD_i ПЛОЩАДЬ ЧАСТИЧНОЙ

О

r_i

БЛАСТИ D_i через d_i= и назовём

Д ИАМЕТРОМ РАЗБИЕНИЯ области D на

ч астичные области D_i. В каждой частичной области

D _i возьмём точку M_i и составим сумму :

Эта сумма называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y) при разбиении области D на частичные области D_i и выборе точек M_i из частичных областей D_i зависит от разбиения и выбора точки M_iÎD_i

def1: Число I называется ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ при d®0 области D на частичные области D_i на частичные области D_i если для "e>0, $ d>0, что для " разбиения области D на частичные области D_i с диаметром d<d и для " набора точек M_iÎD_i выполняется условие:

def2: Если существует конечный предел при d®0, то говорят, что функция f(x,y) ИНТЕГРИРУЕМА по области D т.е. fÎR(D), а этот предел называется ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ от функции f(x,y) по области D

Если область D задана неравенствами a£x£b y₁(x)£y£y₂(x), где y₁(x), y₂(x) интегрируемые функции на [a,b], то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле:

следующие свойства двойных интегралов

1)

2) , где С=const.

3) Если область интегрирования D разбита на две области D₁ и D₂, то

Пример1 Вычислить

Решение:

Пример2: Вычислить , если область D ограниченна линиями:

y= 2-x² , y= 2x-1

Решение: построим область D. Первая линия- парабола, симметричная относительно оси Oy с вершиной в точке (0,2) Вторая линия- прямая.

Р

у=2х-1

ешая систему двух уравнений

2

н айдём координаты точек

пересечения A и B: A(-3;-7), B(1,1)

у=2-х²

Пример3: Поменять порядок интегрирования

Решение: область интегрирования ограничена линиями: x=-1, x=1, y= 1-x², . Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух областей D₁ огран. слева и справа ветвями параболы , ограниченную дугами окружности . Тогда

Задания

1) Вычислить

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2) Вычислить

1. , где

2. , где P ограниченна линиями

3. , где P ограниченна линиями

4. , обл Р ограниченна прямыми х=0, у=х,

5. 

6. , где P ограниченна линиями

7. , где D ограниченна линиями х=2, у=х, ху=1

8. , где Р ограниченна линиями у=0, у=х, х+у=2

9. 

10. 

3) Поменять порядок интегрирования

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

4) Расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в двойном интеграле для указанных областей S:

1. S трапеция с вершинами О(0;0),А(2;0), В(1;1), С(0;1).

2. S прямоугольник с вершинами О(0;0),А(2;0), В(2;1), С(0;1).

3. S треугольник с вершинами О(0;0),А(1;0), В(1;1)..

4. S параллелограмм с вершинами А(1;2), В(2;4), С(2;7),D(1;5).

5. S круговой сектор ОАВ с центром в точке О(0;0), у которого концы дуги А(1;1), В(-1;1).

6. S круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r=1 и R=2 c общим центром (0;0).

7. Область S заданна неравенством

8. Область S ограниченна линиями

9. S ограниченна гиперболой (имеется ввиду область, содержащая начало координат).

10. область S ограниченна линиями х=0, у=0,

Ответы

1) 1. 2) 1. 1

2. 2. 4а

3. 50,4 3. (е-1)²

4. 4. -2

5. 5.

6. 6.

7. 7.

8. 8.

9. 9.

10. 10. 1