Тема 2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Смысл симплекс-метода заключается в целенаправленном переходе от одного опорного решения ЗЛП к другому (т.е. от одной угловой точки ОДР к другой) в направлении экстремума и состоит в последовательности этапов:
- найти начальное опорное решение;
- осуществить переход от одного опорного решения к другому;
- определить критерий достижения оптимального решения или сделать заключение об отсутствии решения.
Правила преобразования симплекс-таблиц
В последней строке П симплекс-таблицы в задаче находим наименьший наименьший отрицательный элемент, не считая свободного члена.
Столбец, сответствующий этому элементу, называется разрешающим.
Вычисляем отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение).
Находят наименьшее из этих симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке.
На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент.
Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений, то выбирают любое из них.
После нахождения разрешающего элемента строят новую таблицу.
Неизвестную переменную, соответствующие разрешающей строке , заменяют переменной, соответствующей разрешающему столбцу.и столбцу, меняют местами.
Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент
Остальные элементы разрешающего столбца заменяем нулями.
Элементы, не входящие в разрешающую строку и столбец, вычисляем по правилу прямоугольника или треугольника
Критерий оптимальности. Как только получится таблица, в которой в последней строке в задаче на min все элементы отрицательны (в задаче на max все элементы положительны), считается, что экстремум найден.
Оптимальное значение целевой функции равно свободному члену в строке П, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные полагаются равными нулю.
Задача 3
Решить задачу 1 симплекс-методом
Таблица 6
Сырье |
|
|
Запасы сырья |
|
5 |
2 |
20 |
|
4 |
1 |
12 |
|
3 |
2 |
12 |
Прибыль П |
5 |
6 |
max |
Таблица 7 Симплекс-таблица №1
БП |
|
|
|
|
|
СВ.Ч. |
|
|
х3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
0 |
20 |
20/2=10 |
|
х4 |
4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
12 |
12/1=12 |
|
х5 |
3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
12 |
12/2=2 |
|
П |
-5 |
-6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
мин(-5, -6,0,0,0)=-6
мин (10;12;2)=2
Таблица 8 Симплекс-таблица №1
БП |
|
|
|
|
|
СВ.Ч. |
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
х4 |
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
3/2 |
2/2 |
0/2 |
0/2 |
1/2 |
12/2 |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
Заменяем оставшиеся элементы разрешающего столбца нулями
БП |
|
|
|
|
|
СВ.Ч. |
|
х3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
х4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
х1 |
3/2 |
1 |
0 |
0 |
1/2 |
6 |
|
П |
|
0 |
|
|
|
|
|
Все остальные элементы находим по правилу прямоугольника
5 ? |
2 |
3 |
2 |
2 |
1? |
2 |
0 |
2 |
0? |
2 |
0 |
2 |
0? |
2 |
1 |
2 |
20 ? |
2 |
12 |
4 ? |
1 |
3 |
2 |
1 |
0? |
2 |
0 |
1 |
1? |
2 |
0 |
1 |
0? |
2 |
1 |
1 |
12? |
2 |
12 |
3 |
2 |
-5? |
-6 |
2 |
0 |
-6 |
0? |
2 |
0 |
-6 |
0? |
2 |
1 |
-6 |
0? |
2 |
12 |
-6 |
0? |
Таблица 9
БП |
|
|
|
|
|
СВ.Ч. |
|
х3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
8 |
|
х4 |
5/2 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
6 |
|
х1 |
3/2 |
1 |
0 |
0 |
1/2 |
6 |
|
П |
4 |
0 |
0 |
0 |
3 |
36 |
|
Так как получили таблицу, в которой в последней строке все элементы- неотрицательные числа, то критерий оптимальности выполняется и получаем оптимальное решение
БП |
|
|
|
|
|
СВ.Ч. |
|
х3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
8 |
|
х4 |
5/2 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
6 |
|
х1 |
3/2 |
1 |
0 |
0 |
1/2 |
6 |
|
П |
4 |
0 |
0 |
0 |
3 |
36 |
Пмакс |
|
у4 |
у5 |
у1 |
у2 |
у3 |
Zmin |
|
Таблица 10
|
Прямая задача
|
Двойственная задача |
Значения переменных |
|
|
Значение целевой функции |
|
|
Задача 2.
Записать симметричную двойственную пару ЗЛП. Привести к виду для составления общей симплекс-таблицы.
Вариант 3
Тогда математическая модель имеет вид
Задания для самостоятельного решения по теме №2
Задание
Предприятие выпускает два вида продукции : столы и стулья
На изготовление изделий расходуются три вида материалов:
древесина, клей и болты.
На каждый стол расходуется А1 дм2 древесины,
В1 мл клея
С1 болтов
На каждый стул расходуется А2 дм2 древесины,
В2 мл клея
С2 болтов
Запасы материалов на складе составляют Р1 древесины
Р2 клея
Р3 болтов
Прибыль от продажи одного стола составляет М1 рублей
Прибыль от продажи одного стула составляет М2 рублей
Предприятие должно получить максимальную прибыль
Решить задачу графически и симплекс-методом
Таблица 11
|
Столы |
Стулья |
Запасы |
Древесина |
А1 |
А2 |
Р1 |
Клей |
В1 |
В2 |
Р2 |
Болты |
С1 |
С2 |
Р3 |
Прибыль |
М1 |
М2 |
|
Задание
А1=3 А2=4 Р1=12
В1=5 В2=3 Р2=15
С1=3 С2=6 Р3=12
М1=4 М2=1
Задание
А1=6 А2=2 Р1=12
В1=1 В2=4 Р2=8
С1=7 С2=2 Р3=14
М1=1 М2=7