2. Алгоритм

1) Построение графика исходного ряда

2) Для выделения тренда для исходного ряда по методу наименьших квадратов аппроксимируем ряд прямой, уравнение которой имеет вид:

y=a·x+b;

Для определения коэффициентов а и b воспользуемся формулами из метода наименьших квадратов:

Получим значения тренда для каждого t:

U_t=a·t+b, t=, где N – число точек исходного ряда.

Построение графика исходного ряда и графика линии тренда.

3) Удаление тренда из исходного ряда.

Удалим тренд из исходного ряда и получим значения ряда, в котором присутствует только сезонная и случайная компоненты:

Y_t - U_t = V_t + ε_t. , t=.

Построение графика исходного ряда и ряда с удаленным трендом.

4) Подсчет коэффициентов автокорреляции.

Для определения периода колебаний воспользуемся корреляционной функцией. Найдем коэффициенты автокорреляции исходного ряда для различных лагов:

, где

, k=, K= .

5) Построение коррелограммы

6) Оценка коррелограммы и установка периода колебаний.

Период колебаний находится как величина лага при максимальном неотрицательном коэффициенте автокорреляции:

T=k, .

7) Вычисление сезонных компонент

Так как сезонные компоненты изменяются периодически с периодом T, усредним компоненты для каждого сезона.

Исходя из аддитивной модели, сумма сезонных компонент должна быть равна нулю. Если это условие не выполняется, вычисляют корректирующий коэффициент:

;

Вычтем из каждой сезонной компоненты корректирующий коэффициент:

, t=.

Теперь сумма сезонных компонент равна нулю:

.

Вывод таблицы с промежуточными данными и скорректированными значениями сезонных компонент.

8) Подсчет ошибки модели

Выразив из нашей модели ошибку, вычислим:

ε_t =Y_t - U_t -V_t , где Y_t – значения исходного ряда

Для оценки качества модели применим сумму квадратов полученных ошибок:

9) Прогнозирование

Для определения значений ряда в будущем воспользуемся построенной нами моделью и вычислим значение ряда для времени τ>N:

Y _τ = U _τ + V _τ , где U _τ – линия тренда, V _τ – сезонная компонента.

Прогноз строится на число точек, определяемое пользователем, либо равное периоду колебаний.

Построение графика прогноза.

10) Вывод по построенной модели.

Если период колебаний T=1, то в исходном ряде отсутствуют сезонные компоненты, и математическое ожидание ряда всегда будет равно значению тренда.

Исходя из оценки качества модели, делается вывод о точности модели: если модель объясняет более 50% общей вариации уровней ряда, модель считается точной.

3. Контрольный пример

Исходный ряд: 375 371 869 1015 357 471 992 1020 390 355 992 905 461 454 920 927 Выделение линейной модели тренда По методу наименьших квадратов вычислены коэффициенты уравнения линии тренда: y=14.3618*x+557.55 Исходный ряд с удаленным трендом: Подсчет коэффициентов автокорреляции по ряду с удаленным трендом:

Лаг	Коэффициент автокорреляции
0	1
1	-0.0682
2	-1.091
3	-0.123
4	0.8811
5	0.0088
6	-0.7484
7	0.0176
8	0.7098

Коррелограмма: Анализ коррелограммы Так как максимальный коэффициент автокорреляции r=0.8811 получен при лаге 4, можно сделать вывод, что исходный ряд колеблется каждые 4 значения. Вычисление сезонных компонент Наша модель имеет вид: F=T+S+E (F – значения модели, T – значения линии тренда, S – значения сезонной компоненты, E – величина ошибок) Получим оценку сезонной компоненты как (предположив, что ошибка равна нулю) S=F-T:

Сезон	1	2	3	4	Среднее	Скорректированная оценка
Сезон 1	-768.8235	-901.7176	-983.6118	-1027.5059	-262.3324	-262.3324
Сезон 2	-801.5471	-816.4412	-1047.3353	-1063.2294	-259.6941	-259.6941
Сезон 3	-332.2706	-324.1647	-439.0588	-625.9529	256.4441	256.4441
Сезон 4	-214.9941	-324.8882	-554.7824	-647.6765	265.5824	265.5824
Сумма	-	-	-	-	0	0

Оценка ошибки прогноза Из нашей модели выразим ошибку: Е=Z-T-S, где Z-реальные значения.

n	Z	S	T	E=Z-S-T	E^2
1	-196.9118	-262.3324	571.9118	65.4206	4279.8534
2	-215.2735	-259.6941	586.2735	44.4206	1973.1887
3	268.3647	256.4441	600.6353	11.9206	142.1004
4	400.0029	265.5824	614.9971	134.4206	18068.8945
5	-272.3588	-262.3324	629.3588	-10.0265	100.5301
6	-172.7206	-259.6941	643.7206	86.9735	7564.3948
7	333.9176	256.4441	658.0824	77.4735	6002.1478
8	347.5559	265.5824	672.4441	81.9735	6719.6595
9	-296.8059	-262.3324	686.8059	-34.4735	1188.4242
10	-346.1676	-259.6941	701.1676	-86.4735	7477.6713
11	276.4706	256.4441	715.5294	20.0265	401.0595
12	175.1088	265.5824	729.8912	-90.4735	8185.4595
13	-283.2529	-262.3324	744.2529	-20.9206	437.671
14	-304.6147	-259.6941	758.6147	-44.9206	2017.8592
15	147.0235	256.4441	772.9765	-109.4206	11972.8651
16	139.6618	265.5824	787.3382	-125.9206	15855.9945

Для оценки качества полученной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных оценок.  R^2= 0.9263 Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 92.63% общей вариации уровней временного ряда.

Прогнозирование. В соответствии с нашей моделью прогнозируем 10 точек для нашего ряда:

t	Прогноз
17	539.3676
18	556.3676
19	1086.8676
20	1110.3676
21	596.8147
22	613.8147
23	1144.3147
24	1167.8147
25	654.2618
26	671.2618

Вывод: Модель объясняет 92.63% общей вариации уровней временного ряда, что достаточно высокий показатель. Модель можно считать точной.