ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Курсовая работа
«Сезонные модели случайных процессов»
по дисциплине
«Теория случайных процессов»
|
|
Студент |
|
|
|
Филатов А.А. |
| ||||||||
|
|
|
|
подпись, дата |
|
фамилия, инициалы |
| ||||||||
|
|
Группа |
|
АС-09 |
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||
|
|
Принял |
|
|
|
|
| ||||||||
|
|
|
|
|
|
Корнеев А.М. |
| ||||||||
|
|
ученая степень, звание |
|
подпись, дата |
|
фамилия, инициалы |
| ||||||||
Липецк 2011
Аннотация
С.16. Ил.7.Библиограф.: 3 назв.
Данный курсовой проект содержит расчётно-пояснительную записку и исполняемый файл самой программы. Расчётно-пояснительная записка включает в себя 16 страниц печатного текста. Имеется 7 иллюстраций, поясняющих работу программы. Расчётно-пояснительная записка помимо титульного листа, аннотации, оглавления и библиографического списка содержит ещё 9 разделов:
1. Задание кафедры.
2. Алгоритм.
3. Руководство пользователя.
4. Контрольный пример.
5. Текст программы.
6. Описание дистрибутива.
7. Приложение 1 «Описание программы»
8. Приложение 2 «Руководство оператора»
9. Приложение 3 «Описание применения»
9. Приложение 4 «Программа и методика испытаний»
Содержание
3. Контрольный пример 12
Задание кафедры
Разработать программный комплекс решения математической задачи моделирования сезонных временных процессов.
Программный продукт должен иметь интерфейс пользователя эстетичного вида с эргономичным расположением управляющих элементов и, помимо функций решения задачи, должен в себя включать:
Систему меню, строго определяющую диалог пользователя с программой.
Систему помощи.
1. Теория
Структурный состав временного ряда.
В общем случае временной ряд экономического показателя Yt, состоящий из n уровней Y1, Y2, Y3, …, Yn, содержит четыре структурно образующих элемента. Основным структурным элементом является тренд Ut, обуславливающий наличие систематического изменения наблюдаемого показателя в течение продолжительного времени.
Кроме него во временных рядах могут наблюдаться близкие к регулярным колебания относительно основной тенденции. Колебания с периодом год, обусловленные влиянием на экономический показатель природно-климатических условий, называются сезонными колебаниями Vt. Наиболее ярко это влияние проявляется в сельском хозяйстве, в добывающих отраслях, а также в потреблении энергоносителей. Под сезонностью понимают ограниченность времени производства работ в течение года, обусловленную влиянием природных факторов.
Кроме колебаний с периодом год, во временном ряду могут наблюдаться колебания с периодом несколько лет Ct. Такие колебания называются циклическими, их наличие обусловлено общими спадами и подъемами мировой экономики.
Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами. Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, называется остаточной компонентой εt. Она является обязательной частью любого временного ряда экономического показателя, поскольку экономическим процессам всегда сопутствуют небольшие изменения, вызванные слабым влиянием кратковременно действующих случайных факторов. Если систематические компоненты временного ряда выделены правильно, что собственно и необходимо при построении трендовой модели, то остаточная компонента будет обладать следующими свойствами:
• случайностью изменения значений;
• соответствием нормальному закону распределения;
• равенством нулю математического ожидания;
• независимостью значений уровней друг от друга, т.е. отсутствием автокорреляции.
Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной и имеет вид:
Yt = Ut + Vt + Ct + εt.
Определение компонент модели:
1) Определение линии тренда Ut.
Для выделения тренда для исходного ряда по методу наименьших квадратов аппроксимируем ряд прямой, уравнение которой имеет вид:
y=a·x+b;
Для определения коэффициентов а и b воспользуемся формулами из метода наименьших квадратов:
Получим значения тренда для каждого t:
Ut=a·t+b,
t=
,
где N
– число точек исходного ряда.
2) Определение периода колебаний T.
Чтобы определить сезонные компоненты удалим тренд из исходного ряда и получим значения ряда, в котором присутствует только сезонная и случайная компоненты:
Yt
-
Ut
= Vt
+
εt.
,
t=
.
Для определения периода колебаний воспользуемся корреляционной функцией. Найдем коэффициенты автокорреляции исходного ряда для различных лагов:
,
где
,
k=
,
K=
.
Период колебаний находится как величина лага при максимальном неотрицательном коэффициенте автокорреляции:
T=k,
.
3) Вычисление сезонных компонент:
Так как сезонные компоненты изменяются периодически с периодом T, усредним компоненты для каждого сезона.
Исходя из аддитивной модели, сумма сезонных компонент должна быть равна нулю. Если это условие не выполняется, вычисляют корректирующий коэффициент:
;
Вычтем из каждой сезонной компоненты корректирующий коэффициент:
,
t=
.
Теперь сумма сезонных компонент равна нулю:
.
4) Подсчет ошибки модели.
Выразив из нашей модели ошибку, вычислим:
εt =Yt - Ut -Vt , где Yt – значения исходного ряда.
5) Оценка качества модели.
Для оценки качества модели применим сумму квадратов полученных ошибок:
6) Прогнозирование.
Для определения значений ряда в будущем воспользуемся построенной нами моделью и вычислим значение ряда для времени τ>N:
Y τ = U τ + V τ , где U τ – линия тренда, V τ – сезонная компонента.