12. Графоаналітичний і аналітичний методи розрахунку перехідних процесів в системах електроприводу.

  Несмотря на отмеченные возможности современной вычислительной техники, незаменимым первичным инструментом при анализе динамики электропривода остаются аналитические и графоаналитические методы решения дифференциальных уравнений. Так как математическое описание динамических процессов в электроприводе всегда в исходном варианте нелинейно, для расчета переходных процессов без применения ЭВМ используют следующие известные методы:

• фазовой плоскости,

• конечных приращений,

• гармонической линеаризации,

• кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик,

• линеаризации уравнений в окрестности точки статического равновесия путем разложения в ряд Тэйлора.

Первые два метода используются для анализа переходных процессов в существенно нелинейных системах в большом количестве. Метод фазовой плоскости является графоаналитическим методом, применимым для анализа систем не выше второго порядка. Метод конечных приращений является простейшим методом численного решения дифференциальных уравнений, пример его использования в дальнейшем приводится. Метод гармонической линеаризации является эффективным для решения задач анализа колебательных процессов в электроприводе – либо вынужденных периодическим возмущением, либо являющихся автоколебаниями.

Наиболее широко используются два последних метода. Метод кусочно-линейной аппроксимации дает возможность аналитического исследования процессов в электроприводах, дифференциальные уравнения которых не содержат произведений переменных, а нелинейные характеристики удовлетворительно линеаризуются двумя – тремя отрезками прямых. При использовании кусочно-линейной аппроксимации и линеаризации анализ переходных процессов ведется путем решения линейных дифференциальных уравнений либо классическим, либо операторным методами. Более удобен для анализа режимов классический метод.

Г л а в а в о с ь м а я графические и графоаналитические методы расчета механических переходных процессов для двигателей с нелинейными механическими характеристиками

Графические и графоаналитические методы получили распространение для решения задач простейших механических переходных процессов, когда надо проинтегрировать уравнение движения электропривода с нелинейными механическими характеристиками двигателя или рабочей машины.

Графическое или графоаналитическое интегрирование уравнения основано на использовании метода конечных разностей. Наибольшее практическое применение получили рассматриваемые ниже графический метод пропорций и графоаналитический метод последовательных интервалов.

8.1 Графический метод пропорций

Метод основан на графическом определении отрезков времени tпо отрезкам, которыми последовательно и произвольно задаются. Для малых конечных приращенийtиуравнение движения электропривода запишется следующим образом:

, (8.1)

где М_СРиМ_С.СР– средние значения момента двигателя и момента статического сопротивления для соответствующих нелинейных характеристик на участкеприращения скорости.

Для графического интегрирования уравнение (8.1) запишется в виде следующей пропорции (отсюда и название метода):

, (8.2)

где m_M,m_J,m_,m_t– масштабные коэффициенты соответствующих фазовых координат и времени.

Эта пропорция (8.2) показывает действительное соотношение величин, входящих в уравнение движения, если будет выдержано условие:

(8.3)

при

. (8.4)

Обычно три масштабных коэффициента (m_M,m_иm_t) выбирают по масштабам заданных механических характеристик двигателя=f(M)и рабочей машиныМ_С=f(),а также по желаемому представлению рассчитываемой кривой=f(t).Четвертый же масштабный коэффициент (m_J) рассчитывают из условия (8.4), а именно:

. (8.5)

Рассмотрим применение графического метода пропорций на примере расчета переходного процесса пуска электропривода вентилятора с асинхронным короткозамкнутым двигателем.

На рисунке 8.1 приведены заданные механические характеристики двигателя (кривая 1) и вентилятора (кривая 2). Вычитая при одной и той же скоростиМ_СизМ, можно получить кривую динамического моментаМ_j=М-М_С(кривая 3). Затем криваяМ_j=f()аппроксимируется прямоугольными участками, как это показано на рисунке 8.1. Чем больше участков аппроксимации, тем точнее будет графическое построение кривой=f(t).На рисунке 8.1 для упрощения кривая динамического момента аппроксимирована 6-ю участками.

Рассмотрим последовательность графического интегрирования уравнения движения и доказательство справедливости такого решения.

На оси моментов откладываем в масштабе m_Jотрезок , пропорциональный моменту инерцииJэлектропривода, предварительно выбрав масштабm_tпо условиям получения кривой=f(t)на заданном участке площади рисунка.

Затем переносим на ось ординат отрезок ОВ(точка 1), равный динамическому моментуМ_j1, отрезки02,03, …,06, равные динамическим моментамМ_j2,М_j3, …,М_j6. Из точкиОпроводим луч до пересечения с линией окончания первого участка аппроксимации кривой динамического момента.

Затем из точки Кпроводим луч и т.д. Соединяя точкиО,К,N и т.д., получаем кусочно-линейную функцию(t), являющуюся графиком механического переходного процесса при пуске двигателя.

Докажем справедливость построения функции (t).

Так как ОКСРВО(по построению), то

. Так как  , , , , то .

Отсюда следует, что  .

Таким образом, построение выполнено верно, если масштабные коэффициенты будут выбраны так, чтобы удовлетворять условию: .

Точность графического решения определяется выбранными масштабами и числом участков прямоугольной аппроксимации кривой динамического момента.

Ме тод пропорций можно применить и для построения графика=f(t)при торможении привода, как это показано на рисунке 8.2. Построения понятны из рисунка и не требуют пояснений, если учесть, что динамический момент в этом случае вычисляется по соотношению:М_j=М_СР+М_С.СР, а для торможения механизма используется режим противовключения с соответствующей механической характеристикойМ=f().