6 Волновой метод расчета звукового поля в замкнутом объеме

6.1 Постановка задачи

В результате многократного отражения звуковых волн от границ помещения возникает замкнутое трехмерное волновое поле. Обычно линейные размеры помещения значительно больше длины звуковых волн, поэтому замкнутый объем помещения представляет собой колебательную систему со спектром собственных частот, зависящим, в первую очередь, от формы и размеров помещения. Теория волновой акустики рассматривает два режима колебаний воздушного объема помещения: собственные затухающие колебания или вынужденные колебания (под действием источника звука).

Рассмотрим задачу о колебаниях воздуха, заполняющего объем помещения в предположении, что помещение имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами l×b×h c жесткими поверхностями, полностью отражающими звук (рисунок 6.1).

Волновое уравнение в декартовых координатах имеет вид:

(6.1)

где p(x,y,z,t) – звуковое давление, c – скорость звука.

С учетом того, что волновое уравнение (6.1) переходит в уравнение Гельмгольца:

(6.2)

в котором p= p(x,y,z) – координатная часть звукового давления, - волновое число звуковой волны.

На жестких поверхностях, ограничивающих объем помещения, составляющие колебательной скорости, нормальные к поверхности, должны обращаться в нуль:

(6.3)

Для звукового давления граничные условия (6.3) принимают форму:

(6.4)

6.2 Собственные колебания и собственные частоты

прямоугольного объема

Общее решение уравнения Гельмгольца (6.2) с граничными условиями (6.4) равно сумме частных решений, имеющих вид:

(6.5)

где m, n, p = 0, 1, 2, 3 …

Функции (6.5) называются характеристическими или собственными функциями уравнения (6.2). Каждой собственной функции соответствует собственное значение параметра k:

(6.6)

Так как величина представляет собой волновое число, то в прямоугольном помещении с жесткими стенками существует набор собственных (резонансных) частот:

(6.7)

Собственное колебание p_mnp, описываемое функцией (6.5), с частотой f_mnp принято называть модой (m, n, p). Физически каждая мода представляет собой стоячую плоскую волну с волновым вектором , проекции которого на оси координат равны:

(6.8)

Так как волновой вектор перпендикулярен волновой поверхности, направление, вдоль которого устанавливается каждая из стоячих волн p_mnp, образует с осями координат углы α, β и γ, величина которых определяется соотношениями:

(6.9)

Очевидно, что

6.3 Классификация собственных колебаний замкнутого объема

В зависимости от ориентации волнового вектора все моды собственных колебаний можно разделить на три группы: осевые, кососкользящие и косые.

Осевыми называются моды, для которых волновой вектор направлен параллельно одному из ребер прямоугольного помещения (рисунок 6.2). Существуют три вида осевых мод:

- x-осевые (α = 0, β = γ = 90⁰) с частотами

- y-осевые (β = 0, α = γ = 90⁰) с частотами

- z-осевые (γ = 0, α = β = 90⁰) с частотами

С кользящими (касательными) называют моды, для которых волновой вектор направлен параллельно одной из координатных плоскостей (рисунок 6.3). Можно выделить:

- xy-касательные моды (α ≠ 0, β ≠ 0, γ = 90⁰) с частотами

- xz-касательные моды (α ≠ 0, γ ≠ 0, β = 90⁰) с частотами

- yz-касательные моды (γ ≠ 0, β ≠ 0, α = 900) с частотами

Косые моды имеют волновой вектор, у которого ни одна из компонент не обращается в нуль: α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 (рисунок 6.4). Частоты косых мод могут быть найдены по формуле